Seja S={(x,y,z)∈R^3; 3x-z=0}
(A) Mostre que S é um subespaço vetorial do R3 relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar trivial.
(B) Determine uma base a dimensão de S.
(C)O que representa geometricamente S?
Soluções para a tarefa
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A base para S é B = {(1,0,3), (0,1,0)} e sua dimensão é 2; S representa pontos do plano 3x - z = 0.
a) 1) S não é vazio, pois (0,0,0) pertence a S;
2) Sendo 3x - z = 0, podemos dizer que z = 3x.
Os pontos (a,b,3a) e (c,d,3c) pertencem a S.
A soma (a,b,3a) + (c,d,3c) = (a + c, b + d, 3(a + c)) também pertence a S;
3) Sendo α um escalar real e o ponto (c,d,3c), temos que:
α(c,d,3c) = (αc,αd,3αc) ∈ S.
Portanto, S é um subespaço do IR³.
b) Se z = 3x, então temos que:
(x, y, 3x) = x(1,0,3) + y(0,1,0).
Os vetores (1,0,3) e (0,1,0) são linearmente independentes. Logo, uma base para S é B = {(1,0,3), (0,1,0)} e a dimensão é 2.
c) S é um conjunto formado por pontos que pertencem ao plano 3x - z = 0.
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