Question

Seja S = {(x,y,z) ∈ IR3/x − y + 2z = 0}. Verifique se S é uma subespaço vetorial do IR3, relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar e em caso afirmativo determine uma base para S

Answer 1

S é um subespaço vetorial do IR³ e uma base para S é B = {(1,1,0), (-2,0,1)}.

1) O conjunto S não é vazio, porque (0,0,0) ∈ S;

2) Sendo x - y + 2z = 0, podemos dizer que x = y - 2z.

Os pontos (a - 2b, a, b) e (c - 2d, c, d) pertencem a S.

A soma (a - 2b, a, b) + (c - 2d, c, d) = (a + c - 2(b + d), a + c, b + d) também pertence a S;

3) Dado o escalar α e o ponto (c - 2d, c, d), temos que:

α(c - 2d, c, d) = (α(c - 2d), αc, αd) = (αc - 2αd, αc, αd) ∈ S.

Portanto, S é um subespaço vetorial do IR³.

Como dissemos acima, x = y - 2z. Então:

(y - 2z, y, z) = y(1,1,0) + z(-2,0,1).

Os vetores (1,1,0) e (-2,0,1) são linearmente independentes. Logo, B = {(1,1,0), (-2,0,1)} é uma base para S.