Question

Seja S o conjunto dos números distintos, com sete algarismos, menores que 4.000.000 que podem ser formados permutando-se os algarismos 1, 1, 2, 2, 2, 3 e 4. A quantidade de elementos de S é igual a:

a) 360
b) 720
c) 4320
d) 5040

Gabarito: letra a

Answer 1

Olá.

 

Foi-nos dado que:

 

- Temos que permutar apenas com os algarismos 1, 1, 2, 2, 2, 3 e 4.

- Os números permutados tem de ser menores que 4.000.000.

 

A quantidade total de permutações será dada pelo produto da quantidade de permutações para a primeira posição (“que ocupa a casa das unidades de milhão”) com a quantidade de permutações para as posições restantes.

 

Como os novos números tem de ser menores que 4.000.000, apenas os algarismos 1, 2 e 3 podem ocupar a primeira posição, logo, a quantidade de permutação vai ser igual a 3!.

 

Para os seis números restantes, a quantidade de algarismos disponíveis é igual a 6. Existe repetição do algarismo 1 (2 vezes) e do algarismo 2 (3 vezes), logo, devemos considerar essas repetições no cálculo da quantidade total de permutações, colocando-as dividindo no numerador. Teremos:

 

$\mathsf{\dfrac{6!}{2!\cdot3!}}$

 

Calculando o produto de tudo, teremos:

 

$\mathsf{P=3!\cdot\dfrac{6!}{2!\cdot3!}}\\\\\\ \mathsf{P=3\cdot2\cdot1\cdot\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{2\cdot1\cdot3!}}\\\\\\ \mathsf{P=6\cdot\dfrac{6\cdot5\cdot4}{2}}\\\\\\ \mathsf{P=6\cdot\dfrac{120}{2}}\\\\\\ \mathsf{P=6\cdot60}\\\\ \boxed{\mathsf{P=360}}$

 

Com isso, podemos ter certeza que a resposta correta está na alternativa A.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$