Question

Seja S a soma de todos os z=a+bi, número complexo tal que a,b,|z| são números pares consecutivos, então, S é igual a:

Answer 1

Resposta:

A resposta é 4 + 8i

Explicação passo-a-passo:

Para resolver esta questão, é necessário compreendermos bem as informações que estão sendo passadas pelo enunciado:

1.) Ele quer a soma S de todos os números complexos que satisfazem as instruções;

2.) a, b e |z| devem ser consecutivos pares.

Com isso em mente, devemos lembrar a estrutura básica dos números complexos, que nada mais é que:

$a + bi$

Sendo $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Dessa forma, para que a, b e |z| sejam pares, é necessário que...

$b = a + 2\\|z| = a + 2 + 2$

Dessa forma, nossa equação estará seguindo as instruções passadas pelo enunciado. A resolução desta equação segue abaixo:

$|z| = a + 4 = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\\b = a + 2\\\sqrt{a^{2}+(a + 2)^{2}} = a + 4 \\a^{2} + (a + 2)^2 = (a + 4)^{2}\\a^2 + (a^2+4a+4) = (a^2+8a+16)\\2a^2 + 4a + 4 = a^2 + 8a + 16\\a^2 - 4a - 12 = 0$

Finalmente chegamos a uma equação de segundo grau para a variável a. Como b e |Z| estão diretamente relacionados à a, saber seu valor já resolverá nosso problema:

$\Delta = b^2 - 4ac = 16 + 48 = 64\\a = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2}\\a = \frac{4 + 8}{2} = 6\\Ou\\a = \frac{4 - 8}{2} = -2$

Resolvendo a equação de segundo grau teremos que a pode ser 6 e -2. Agora, vamos aos possível valores de b e |Z|:

Caso a = 6

$b = a + 2 = 8\\|z| = a + 4 = 10$

Caso a = -2

$b = a + 2 = 0\\|z| = a + 4 = 2$

Logo, ao substituir as variáveis na equação complexo, teremos que as possíveis equações são:

$z = 6 + 8i$

$z = -2 + 0i$

Somando as duas equações teremos:

$z = 4 + 8i$