Question

Seja S : 2x + y -5 =0 e λ : x2 + y2 =5 e sabendo que S é tangente a λ , encontre as coordenadas do ponto em que S e λ se tangenciam. OBS: Resp: (2, 1), mas preciso das contas

Answer 1

λ denota uma circunferência (que tem equação geral (eq. 1) igual a: (y-y0)²+(x-x0)² = R², em que (x0;y0) são as coordenadas do centro, e R é o raio).

Comparando (eq 1) com a equaçao de λ, vem: $x_0=y_0=0$ e $R=\sqrt{5}$. A equação geral do raio será: $y-y_0=m(x-x_0)\\y=mx$.

Nós sabemos que o coeficiente angular (m) da equação do raio será o inverso do oposto do coeficiente angular da reta S, já que as duas retas são perpendiculares (toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular a seu raio).

A equação reduzida de S é y=-2x+5, e seu coeficiente, igual a -2. Então o coeficiente da equação do raio é 1/2. Substituindo, temos:

$y=\frac{1}{2}x$

Basta encontrarmos o ponto em que essa equação será igual à S, igualando ambas:

$\frac{1}{2}x=-2x+5\\\frac{5}{2}x=5\\x=2 \rightarrow y=1$