Question

Seja S = {0,1,2,4,6}. Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são reflexivas, simétricas, anti-simétricas ou transitivas.

a) ρ = {(0,0),(1,1),(2,2),(4,4),(6,6),(0,1),(1,2),(2,4),(4,6)}
b) ρ = {(0,1),(1,0),(2,4),(4,2),(4,6),(6,4)}
c) ρ = {(0,1),(1,2),(0,2),(2,0),(2,1),(1,0),(0,0),(1,1),(2,2)}

Answer 1

Boa noite!

Reflexiva se $(a,a)\in \rho$ para todo $a \in S$.
Simétrica se $(b,a)\in \rho$ sempre que $(a,b)\in \rho$, para quaisquer $a,b\in S$
Anti-simétrica para quaisquer $a,b\in S$ se $(a,b)\in \rho$ e $(b,a)\in \rho$, então $a=b$
Transitiva sempre que $(a,b)\in \rho$ e $(b,c)\in \rho$ então $(a,c)\in \rho$ para todo $a,b,c\in S$

a)
Neste caso temos (0,0), (1,1), (2,2), (4,4), (6,6), então é REFLEXIVA.
Tem (0,1) mas não tem (1,0), então NÃO É SIMÉTRICA.
O mesmo para (1,2), (2,4), (4,6), ou seja, como não tem o par SIMÉTRICO, é ANTI-SIMÉTRICA.
Tem (0,1), (1,2) mas não tem (0,2), portanto, NÃO É TRANSITIVA.

b)
NÃO REFLEXIVA,
SIMÉTRICA,
NÃO ANTI-SIMÉTRICA,
NÃO TRANSITIVA (tem (0,1), (1,0), mas não tem (0,0)

c)
NÃO REFLEXIVA,
SIMÉTRICA,
NÃO ANTI-SIMÉTRICA,
TRANSITIVA.

Espero ter ajudado!