Question

Seja R uma relação no conjunto A. Dizemos que R é reflexiva se ( a,a ) ∈ R para todo elemento a ∈ A. Seja R uma relação reflexiva em A e S uma relação qualquer em A. Demonstrar que

i ) S ⊆ SoR
ii ) S ⊆ RoS
iii ) Construir um par de exemplos para mostrar que não são válidas as igualdade em i) e ii)

Answer 1

Se (x,y)∈ S então (x,x) e (y,y) ∈ R ; ∀x,y ∈ A, portanto (x,y) ∈ S o R e (x,y) ∈ R o S.

S o R (x) = S(R(x)) = S(x) = y

R o S (x) = R(S(x)) = R(y) = y

Agora os exemplos.

Seja A = {0,1,2} , R = {(0,0),(1,0),(1,1),(2,2)} e S = {(0,1),(1,2)} então

                              S o R = {(0,1),(1,1),(1,2)} ≠ S

                              R o S = {(0,0),(0,1),(1,2)} ≠ S