Question

Seja R o paralelogramo de vértices (0,0); (1,2); (2,1) e (3,3). Resolva
$\int\int\limits_R {(x+y)} \, dxdy$


Favor, resolver sem aplicação de cálculo vetorial. (Pergunta de nível superior )

Answer 1

Olá.

Vamos fazer sem o uso dos teoremas integrais então.

Inicialmente, poderíamos usar o Teorema de Fubini e separar a região em três conjuntos, aí bastaria calcular três integrais duplas. Isso é mais trabalhoso e desgastante que o modo que farei.

Se pudéssemos rotacionar cada um dos lados do paralelogramo para coincidir com os eixos cartesianos, o trabalho seria bem menor. É isso que farei.

A transformação é:

$\begin{cases}x'= x ~\text{cos}(\theta) - y~\text{sen}(\theta)\\y' = x ~\text{sen}(\theta) + y~\text{cos}(\theta)\end{cases}$

Aqui não nos importaremos com os valores exatos. Como tanto seno e cosseno de $\theta$ são divididos pela hipotenusa, vou absolutamente desconsiderar esse valor fracionário. Depois corrigimos.

Ao rodarmos $-\theta$  os eixos x' e y', que chamarei de u e v, temos x e y. Obtemos:

$x=2u+v\\y=u+2v$

Se jogarmos os valores de x e y para cada par ordenado, obteremos um sistema linear simples, que não vou resolver por não ser o objetivo no cálculo. Deixo as conversões que calculei:

$\begin{array}{ccc}(x,y)&\to&(u,v)\\(0,0)& & (0,0)\\(1,2)& & (0,1)\\(2,1)& & (1,0)\\(3,3)& & (1,1)\end{array}$

Veja que no novo sistema uv temos um quadrado, extremamente simples de calcular. Mas para isso, pagamos um preço, e temos que corrigir multiplicando a integral pelo módulo do determinante jacobiano da transformação.

$J(u,v) = \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \left|\begin{array}{cc}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right| = 3$

Assim, multiplicaremos a integral por 3. Muito simples. Agora, a integral será, substituindo x + y por (2u + v) + (u + 2v). u varia de 0 a 1 e v também de  0 a 1.

$\displaystyle\iint_{R_{xy}}f(x,y) dxdy = \iint_{R_{uv}}f(u,v)|J(u,v)|dudv$

$= \displaystyle \int_0^1\int_0^1 [(2u+v)+(u+2v)]3dudv=\int_0^1\int_0^19u+9v~ dudv\\ \\ \\=\int_0^1 \left(\frac{9}{2}u^2 + 9uv\right)_0^1 dv = \int_0^1\dfrac{9}{2}+9v~dv \\\\\\= \left(\dfrac{9}{2}v+\dfrac{9}{2}v^2\right)_0^1 = 18$

Portanto,

$\displaystyle\iint_{R_{xy}}x+y ~dxdy=18$