Seja R=f(teta) a equação polar de uma curva, sendo f derivavel em [ teta 1 teta2] o comprimento desta curva pode ser cauculada através da fórmula: L=S teta 1 e teta 2 raiz quadrada [f( teta)]^2+ [f 1(Teta )]^2 d teta com base nisso calcule o comprimento de cardiode r= a (1+ cos. teta) com a > 0
Soluções para a tarefa
(a)
lim
x→1
√
x
2 + 3 − 2
x − 1
= lim
x→1
x
2 − 1
(x − 1)(√
x
2 + 3 − 2)
= lim
x→1
x + 1
√
x
2 + 3 − 2
=
1
2
.
(b) Como sen x é uma função contínua, temos
lim x→+∞
sen πx + 5
√
4x
2 + 1
= sen
lim x→+∞
πx + 5
√
4x
2 + 1
.
Mas
lim x→+∞
πx + 5
√
4x
2 + 1
= lim x→+∞
π 6x(1 + 5
x
)
6x
q
4 + 1
x2
= π/2.
Logo o limite desejado sen(π/2) = 1.
(c)
f
0
(x) = 2x cos(e
cos x
) − x
2
sen(e
cos x
)(e
cos x
)
0
= 2x cos(e
cos x
) − x
2
sen(e
cos x
) · (− sen x)(e
cos x
) = 2x cos(e
cos x
) + x
2
sen(e
cos x
) · (sen x)(e
cos x
)
(d) Tem-se limx→0− f(x) = −2A, e limx→0+ f(x) = −1/2, logo A = 1/4.
(e) Derivando implicitamente em relação a variável x obtemos
e
x
2y
2xy + x
2
dy
dx
= 2 + 2
dy
dx.
Resolvendo esta equação para dy
dx obtemos
dy
dx =
2 − 2xyex
2y
x
2e
x2y − 2
.
Em x = 0 temos que y = 1/2 e a equação da reta tangente será