Question

Seja r a reta que passa por A (1,2,3) e B (3,9,2). Encontre uma equação vetorial para r e determine o valor do parâmetro real “t” que corresponderá ao ponto P(5,16,1).

Answer 1

A reta definida pelos pontos A e B, é a reta que passa por A (ou por B) e tem a direção do vetor v=AB.
AB=B-A=(2,7,-1)

Assim, suas equações paramétricas são:
Seja P=(x,y,z), temos que
P=A+tv
(x,y,z)=(1,2,3)+(2t,7t,-t)

x=1+2t
y=2+7t
z=3-t

Agora vamos encontrar o valor de t para o qual P(5,16,1), ou seja, onde x=5, y=16, z=1:

Das equações paramétricas:
5=1+2t ⇒2t=4 ⇒ t=2
Apenas confirmando (em y e z) que esse valor de t é válido:
16=2+6t ⇒7t=14 ⇒ t=2
e
1=3-t ⇒ t=2

Assim, a equação (x,y,z)=(1,2,3)+(2t,7t,-t) é uma equação vetorial da reta r que passa por A e B, e t=2 corresponde ao ponto P(5,16,1)