Question

Seja (r) a reta que passa pelos pontos C (–1,4) e D (3,12).
a) Determine a equação reduzida dessa reta.
b) Determine uma equação geral dessa reta.

Answer 1

a) y = 2x + 6

b) -2x + y - 6 = 0

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A equação da reta que passa por dois pontos é dada por:

(y - y₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) . (x - x₁)

Onde x₁ e y₁ são as coordenadas de um primeiro ponto (digamos o ponto (-1,4)), e x₂ e y₂ são as coordenadas do segundo ponto (3,12).

Substituindo:

(y - 4) = (12 - 4)/(3 - (-1)) . (x - (-1))

(y - 4) = 8/4 . (x + 1)

(y - 4) = 2 . (x + 1)

y - 4 = 2x + 2

a) Na equação reduzida, isolamos o y:

y - 4 = 2x + 2

y = 2x + 2 + 4

y = 2x + 6

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b) Na equação geral, colocamos todos os termos do lado esquerdo da equação (forma ax + by + c = 0).

y - 4 = 2x + 2

y - 4 - 2x - 2 = 0

-2x + y - 6 = 0

$\dotfill$

Bons estudos!

Answer 2

Após a resolução temos como resposta de cada item:

• a) a equação reduzida da reta r é igual a y = 2x + 6;
• b) a equação geral da reta r é igual a 2x – y + 6 = 0.

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Sabe-se que a equação geral de uma reta se situa na forma ax + by + c = 0, e para obtermos a equação reduzida basta isolar y:

   $\boldsymbol{\begin{array}{l}\bullet~~ax+by+c=0~\Rightarrow~y=-\,\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\end{array}}$

Assim, fazendo – a/b = m (coeficiente angular), e – c/b = n (coeficiente linear), a equação reduzida de uma reta fica na forma y = mx + n.

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O método que usarei nessa questão, cujo gosto bastante, é encontrar primeiro a eq. geral através de um determinante D formado por dois pontos que essa reta passa, e depois, só isolar y para encontrar a eq. reduzida. O determinante se situa na forma:

                                      $\\\quad\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\end{array}\right|=0\end{array}}$

Observe que, nos dois primeiros elementos da:

• primeira linha são formados por um ponto genérico (x , y);
• segunda linha são formados por um ponto A(xₐ , yₐ);
• terceira linha são formados por um ponto B(xᵦ , yᵦ).

E a terceira coluna é formada por números um para que o determinante seja 3x3.

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Dessa forma, se uma reta r passa pelos pontos C(– 1 , 4) e D(3 , 12), então:

$\\\!\!\!\large\begin{array}{l}\implies~~~~\!\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\\!\!\!-1&4&1\\3&12&1\end{array}\right|=0\end{array}$

Agora, a fim de calcular esse determinante usamos a Regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas, fazer a soma do produto de uma diagonal (principal) e subtrair da soma do produto de outra diagonal (secundária):

$\\\!\!\!\large\begin{array}{l}\implies~~~~\!\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\\!\!\!-1&4&1\\3&12&1\end{array}\right|\begin{matrix}x&y\\\!-1&4\\3&12\end{matrix}=0\\\\\iff~~~x\cdot4\cdot1+y\cdot1\cdot3+1\cdot(-1)\cdot12-[1\cdot4\cdot3+x\cdot1\cdot12+y\cdot(-1)\cdot1]=0\\\\\iff~~~4x+3y-12-[12+12x-y]=0\\\\\iff~~~4x+3y-12-12-12x+y=0\\\\\iff~~-8x+4y-24=0\\\\\iff~~~\!\boldsymbol{\boxed{2x-y+6=0}}\end{array}$

Com a equação geral em mãos, vamos isolar y para obter a equação reduzida:

$\\\!\!\!\large\begin{array}{l}\implies~~~~\!2x-y+6=0\\\\\iff~~~2x+6=y\\\\\iff~~~\!\boldsymbol{\boxed{y=2x+6}}\end{array}$

Portanto, temos a resposta de cada item:

• a) a eq. reduzida dessa reta é igual a y = 2x + 6;
• b) a eq. geral dessa reta é igual a 2x – y + 6 = 0.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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