Question

Seja r a reta que passa pelo ponto p(3,2) e é perpendicular a reta s: y = -x + 1. Qual é a distância do ponto A(3, 0) à reta r ?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf s:~y=-x+1~\rightarrow~m_s=-1$

Como $\sf r$ e $\sf s$ são perpendiculares, temos:

$\sf m_r\cdot m_s=-1~\rightarrow~m_r\cdot(-1)=-1~\rightarrow~m_r=1$

$\sf y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

$\sf y-2=1\cdot(x-3)$

$\sf y-2=x-3$

$\sf y=x-3+2$

$\sf y=x-1$

$\sf r:~x-y-1=0$

A distância procurada é:

$\sf d=\dfrac{|a\cdot a_0+b\cdot y_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\sf d=\dfrac{|1\cdot3+(-1)\cdot0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$\sf d=\dfrac{|3-0-1|}{\sqrt{1+1}}$

$\sf d=\dfrac{|2|}{\sqrt{2}}$

$\sf d=\dfrac{2}{\sqrt{2}}$

$\sf d=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\sf d=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}$

$\sf d=\sqrt{2}$

Answer 2

A distância do ponto A(3, 0) à reta r é igual a √2.

Essa questão é sobre a distância entre ponto e reta. Algumas considerações:

• Retas perpendiculares tem produto dos coeficientes angulares igual a -1;

• A distância entre reta e ponto pode ser calculada pela fórmula d(r, P) = |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²);

Precisamos encontrar a equação da reta r. Se ela é perpendicular à reta s, temos que:

mr · ms = -1

mr = -1/-1

mr = 1

A reta r é da forma y = x + n, substituindo o ponto P(3,2), temos:

2 = 3 + n

n = -1

A reta r é y = x - 1. Colocando a reta na forma ax + by + c = 0, temos:

-x + y + 1 = 0

Temos então que a = -1, b = 1, c = 1, x₀ = 3 e y₀ =  0. Substituindo na fórmula:

d(r, A) = |-1·3 + 1·0 + 1|/√((-1)² + 1²)

d(r, A) = |-3 + 0 + 1|/√2

d(r, A) = |-2|/√2

d(r, A) = √2

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