Question

seja Qo = (3,6,9) e r a reta que passa pelos pontos A = (2,3,4) e B = (4,2,3). O ponto da reta mais próximo de Qo é o ponto:

a) (2,3,4)
b) (4,2,3)
c) (0,4,5)
d) (6,1,2)
e) (8,0,1)
f) N.D.R.

Answer 1

Qo=(3,6,9)

vetor diretor da reta r ==> (4-2,2-3,3-4) =(2,-1,-1)

O ponto mais próximo é (a,b,c)

Fazendo o produto escalar...

(3-a,6-b,9-c) . ( 2,-1,-1) =0

2*(3-a) - (6-b) -(9-c)=0

6-2a-6+b-9+c=0

2a+b+c=9

Vou aproveita as alternativas, a única que obedece a                    Lei 2a+b+c=9 é a letra c)

2*0 + 4 +5 =9  

Letra C

PS: vou pensar em uma solução mais simples, a que eu fiz está muito grande, vou pensar melhor....

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\mathtt{C}}$

Explicação passo-a-passo:

Seja $\displaystyle \mathtt{A = (x_1, y_1, z_1)}$ e $\displaystyle \mathtt{B = (x_2, y_2, z_2)}$ dois pontos de uma recta. Ademais, considere $\displaystyle \mathtt{P =(x, y, z)}$ um ponto qualquer dessa recta; sabe-se sua equação é dada por:

$\displaystyle \begin{cases} \mathtt{x = x_1 + (x_2 - x_1) \cdot t} \\ \mathtt{y = y_1 + (y_2 - y_1) \cdot t} \\ \mathtt{z = z_1 + (z_2 - z_1) \cdot t}\end{cases} \mathtt{\quad \forall \, t \in \mathbb{R}}$

Daí,

$\\ \displaystyle \mathtt{r:} \begin{cases} \mathtt{x = 2 + (4 - 2)t} \\ \mathtt{y = 3 + (2 - 3)t} \\ \mathtt{z = 4 + (3 - 4)t}\end{cases} \\\\\\ \mathtt{r:} \begin{cases} \mathtt{x = 2 + 2t} \\ \mathtt{y = 3 - t} \\ \mathtt{z = 4 - t}\end{cases}$

Determinada a reta que passa pelos pontos A e B, podemos concluir que: somente o ponto (4, 2, 3) não pertence à recta r. Por fim, calculamos a distância entre os pontos (2, 3, 4), (0, 4, 5), (6, 1, 2) e (8, 0, 1) e encontramos respectivamente, $\displaystyle \mathtt{\sqrt{35}}$, $\displaystyle \mathtt{\sqrt{29}}$, $\displaystyle \mathtt{\sqrt{83}}$ e $\displaystyle \mathtt{\sqrt{125}}$

Assim, não fica difícil concluir que, de fato, o ponto $\displaystyle \mathtt{(0 ,4, 5)}$ fica mais próximo de $\displaystyle \mathtt{Q_o}$

Para acrescentar...

Da equação da recta, temos que o vetor diretor é:

$\displaystyle \mathtt{\overrightarrow{v} = (2, - 1, - 1)}$

A menor distância entre $\displaystyle \mathtt{Q_o}$ e a recta $\displaystyle \mathtt{r}$ é dada por:

$\displaystyle \displaystyle \mathtt{d = \frac{\mid \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{AQ_o}\mid }{\mid \overrightarrow{v} \mid }}$

Logo,

$\\ \displaystyle \mathtt{d = \frac{\mid \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{AQ_o} \mid }{\mid \overrightarrow{v} \mid }} \\\\\\ \mathtt{d = \frac{\mid (2, - 1, - 1) \times (3 - 2, 6 - 3, 9 - 4) \mid }{\mid (2, - 1, - 1) \mid }} \\\\\\ \mathtt{d = \frac{\mid (2, - 1, - 1) \times (1, 3, 5) \mid }{\mid (2, - 1, - 1) \mid }}$

Quanto ao numerador temos:

$\\ \displaystyle \begin{bmatrix} \mathtt{i} & \mathtt{j} & \mathtt{k} & | & \mathtt{i} & \mathtt{j} \\ \mathtt{2} & \mathtt{- 1} & \mathtt{- 1} & | & \mathtt{2} & \mathtt{- 1} \\ \mathtt{1} & \mathtt{3} & \mathtt{5} & | & \mathtt{1} & \mathtt{3} \end{bmatrix} = \\\\ \mathsf{- 5i - j + 6k + k + 3i - 10j =} \\\\ \mathtt{- 2i - 11j + 7k =} \\\\ \mathtt{\left ( - 2, - 11, 7 \right )}$

Segue,

$\\ \displaystyle \mathtt{d = \frac{\mid (- 2, - 11, 7) \mid }{\mid (2, - 1, - 1) \mid }} \\\\\\ \mathtt{d = \frac{\sqrt{(- 2)^2 + (- 11)^2 + 7^2}}{\sqrt{2^2 + (- 1)^2 + (- 1)^2}}} \\\\\\ \mathtt{d = \sqrt{\frac{4 + 121 + 49}{4 + 1 + 1}}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{d = \sqrt{29}}}}$