Question

Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x)= x6-1 pelo polinômio d(x)=x-1. Então:
Estou em dúvida
D) Q(-1) =1
E) Q(1) = 6

Answer 1

Se dividirmos algo temos um quociente e um resto, mesmo que o resto seja 0, então digamos que:

Q(x) + R = P(x)/D(x)

Onde r é o resto.

Vamos fatorar $x^6-1$

$x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)=(x + 1).(x-1).(x^4+x^2+1)$

Sendo assim temos:

Q(x) + R = $\frac{(x + 1).(x - 1).(x^4+x^2+1)}{x-1}$

Corta o x - 1 em cima e em baixo

Q(x) + R = $(x + 1).(x^4 + x^2 + 1)$

Não tem resto nessa divisão, então R = 0

Q(x) = $(x + 1).(x^4 + x^2 + 1)$

Agora vamos ver:

$Q(-1) = (-1 + 1).((-1)^4 + (-1)^2 + 1)$

$Q(-1) = 0.(1 + 1 + 1)$

$Q(-1) = 0$

$Q(1) = (1 + 1) . (1^4 + 1^2 + 1)$

$Q(1) = 2.(1 + 1 + 1)$

$Q(1) = 2.3$

$Q(1) = 6$

Answer 2

Um outro modo de responder seria fazendo o método Briot Ruffini eu acho

Primeiro fariamos a divisão do x6-1 por x-1 que daria esse quociente

x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Como Q(x) é o quociente da divisão ficaria

Q(x) =  x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

a partir disso as respostas dizem que a variável x é igual ou a -1 ou a 1 então aconteceria uma troca até achar a resposta que desse certo.

D) Q(-1) = (-1)^5  + (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1

    Q(-1) =  -1 + 1 - 1 + 1 - 1  + 1   = 0

E) Q(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 , já que 1 elevado a qualquer coisa é 1

Então a única certa seria a letra E :|