Question

Seja α ∈ Q. Prove que existe um ´unico n ∈ Z tal que n ≤ α ≤ n + 1

Answer 1

Suponha por absurdo que exista mais de um número inteiro em que o número racional α esteja entre ele e seu sucessor. Se isso fosse verdade, um desses números inteiros estaria contido no intervalo do outro número inteiro e seu sucessor, o que é um absurdo, visto que, entre dois números inteiros consecutivos, não há outro número inteiro.

Matematicamente:

Suponha x e y ∈ Z, com x ≠ y, e suponha, sem perda de generalidade, que x > y, tal que x ≤ α ≤ x + 1 e y ≤ α ≤ y + 1.

Como x > y, temos que x + 1 > y + 1, ou seja, o intervalo [y, y + 1] ⊂ [x, x + 1]. Porém, como y ∈ Z, ele não pode estar contido entre dois inteiros (x e x + 1), a não ser que y = x e x + 1 = y + 1, ou seja, x = y. Absurdo!