Question

Seja q = 4ⁿ + 1, onde n é um inteiro positivo. Prove que se q é primo, então q | 3^[(q - 1)/2] + 1.


(Dica: Usar a lei da reciprocidade quadrática)

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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Definição: Sejam $a$ e $x$ inteiros e $p$ um primo, o símbolo de Legendre é definido por:

$\left(\dfrac{a}{p}\right)=\begin{cases}0~\text{se}~p~|~a\\-1~\text{se}~a\not\equiv x^2\pmod{p}\\1~\text{se}~p\nmid a~\text{e}~a\equiv x^2\pmod{p}\end{cases}$

Proposição: Seja $a$ um inteiro e $p$ um primo ímpar, tal que $p\nmid a$, temos:

$\left(\dfrac{a}{p}\right)\equiv a^{\dfrac{p-1}{2}}\pmod{p}$

A lei da reciprocidade quadrática é a seguinte: sejam $p$ e $q$ primos ímpares, então:

$\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right)\equiv(-1)^{\dfrac{p-1}{2}\cdot\dfrac{q-1}{2}}$

$\bullet$  Se $p\equiv1\pmod{4}$ ou $q\equiv1\pmod{4}$, então $p\equiv x^2\pmod{q}$ se, e somente se, $q\equiv y^2\pmod{p}$

$\bullet$  Se $p\equiv q\equiv3\pmod{4}$, então $p\equiv x^2\pmod{q}$ se, e somente se, $q\not\equiv y^2\pmod{p}$

Nessa questão temos $q=4^{n}+1$

Como $4^{n}+1\equiv1\pmod{4}$, então $q\equiv1\pmod{4}$

Mas, $4\equiv1\pmod{3}$

Daí, podemos afirmar que $4^{n}\equiv1^{n}\equiv1\pmod{3}$ e $4^{n}+1\equiv1+1\equiv2\pmod{3}$, isto é, $4^{n}+1\equiv-1\pmod{3}$

Desse modo, $\left(\dfrac{4^{n}+1}{3}\right)\not\equiv1\pmod{3}$, logo, $\left(\dfrac{3}{4^{n}+1}\right)\not\equiv1\pmod{4^{n}+1}$


Como $3\nmid 4^{n}+1$, então $\left(\dfrac{3}{4^{n}+1}\right)\equiv-1\pmod{4^{n}+1}$, ou seja, $\left(\dfrac{3}{q}\right)\equiv-1\pmod{q}$

Temos que $\left(\dfrac{a}{p}\right)\equiv a^{\dfrac{p-1}{2}}\pmod{p}$

Nesse caso, $\left(\dfrac{3}{q}\right)\equiv3^{\dfrac{q-1}{2}}\pmod{q}$

Como $\left(\dfrac{3}{q}\right)\equiv-1\pmod{q}$, segue que $3^{\dfrac{q-1}{2}}\equiv-1\pmod{q}$ 

Assim, $3^{\dfrac{q-1}{2}}+1\equiv-1+1\equiv0\pmod{q}$, ou seja, $q~|~3^{\dfrac{q-1}{2}}+1$