Question

Seja PQRS um trapézio isósceles cujas bases menor e maior são respectivamente os segmentos PQ e SR. Se M e N são respectivamente as projeções ortogonais de P e Q sobre SR e se a razão entre as medidas de SR e PQ é igual a três, então, pode-se afirmar corretamente que a razão entre a área do trapézio e a área do quadrilátero PQNM é igual a A) 3,0. B) 1,5. C) 2,0. D) 2,5. serio não entendi nadaaaa!

Answer 1

Anexo imagem para apresentar o raciocínio.

Como o enunciado diz que é um trapézio isósceles então seus lados não paralelos são iguais. Essa informação é importante pois as projeções dos segmentos QR e PS sobre o segmento SR são iguais.

Adotando que o segmento PQ = k, então SR = 3k.

A medida do segmento de reta SR é a soma dos segmentos: SM + MN + NR e SM e NR são iguais (trapézio isósceles) então:
SM = NR = x (valores iguais)
SM + NR = 2x (a soma dos segmentos é o dobro de um)
2x + k = 3k (a medida do segmento SR)
x = k (os pontos M e N dividem o segmentos SR em 3 partes iguais)

Os segmentos PM e QN tem os lados iguais já que os triângulos PSM e QNR são congruenges.

Agora que temos todas as medidas bem definidas vamos calcular as áreas dos poligonos.

(área do quadrilátero PQMN)

$\boxed{\bold{A}_{PQMN} = k\times h}$

(área do trapézio)

$\bold{A}_{PQRS} = \frac{(3k + k)\times h}{2}\\\\ \bold{A}_{PQRS} = \frac{4k\times h}{2}\\\\ \boxed{\bold{A}_{PQRS} = 2k\times h}$

A razão do trápezio pelo quadrilátero é então

$\frac{\bold{A}_{PQRS}}{\bold{A}_{PQMN}} = \frac{2k\times h}{k\times h}\\\\ \boxed{\frac{\bold{A}_{PQRS}}{\bold{A}_{PQMN}} = 2}$

Resposta C