Question

Seja P(z) um polinômio de grau 2, com coeficientes complexos. Calcule P(1) , se P(z) satisfaz: P(−i)=2, P(−1)=1+2i e P(0)=i.

Answer 1

Resposta:

O valor de p(1) é o número complexo -2+5i.

Explicação passo a passo:

Seja p(z) = az² + bz + c tal que:

p(0) = i ∴ c = i

p(-i) = 2 ∴ - a - bi + i = 2     (i)

p(-1) = 1 + 2i ∴ a - b + i = 1 + 2i     (ii)

Mas como a, b e c são coeficientes complexos temos:

a = m + ni e b = p + qi substituindo em (i) e (ii) e organizando os termos:

(q-m) + (1-n-p)i = 2

(m-p)+(n-q+1)i = 1 + 2i

Dessa forma obtemos o seguinte sistema:

$\begin{cases}q-m=2\\1-n-p=0\\m-p=1\\n-q+1=2\end{cases}$

Cuja solução é m = -1/2 ; n = 5/2 ; p = -3/2 ; q = 3/2

Assim o polinômio é da forma:

p(z) = (-1/2+5i/2)z² + (-3/2+3i/2)z + i

Por fim calculamos p(1).

p(1) = -1/2 + 5i/2 - 3/2 + 3i/2 + i

p(1) = -2 + 5i