Question

Seja p(x) um polinômio não nulo. Se x³ − 4x² + 5x − 2 e x³ − 5x² + 8x − 4 são divisores de p(x), determine o menor grau possível de p(x).

Answer 1

Seja a = x^3 -4x^2 +5x-2 e b = x^3 -5x^2 +8x-4
Se a e b dividem P, a e b são fatores de P. Logo, podemos escrever P como a*b*k, k um polinomio qualquer que desconhecemos, que pode ser 1.
Perceba que no produto de a*b, o maior grau que surgirá é 6, pelo produto de x^3 * x^3.
Logo, sabemos que P terá no mínimo grau 6.

Answer 2

Por Briot Ruffini:

x³ − 4x² + 5x − 2 = (x-1)²(x-2)

x³ − 5x² + 8x − 4 = (x-2)²(x-1)

Logo p(x) pode ser (x-2)²(x-1)², sendo o menor valor possível e sendo do 4º Grau