Question

Seja P(x) um polinômio do 2º grau tal que P(-1)=12, P(0)=6 e x=2 é raiz de P(x). O resto da divisão de p(x) por x-3 é:

R:0

Answer 1

Resposta:

Seja P(x) um polinômio de 2º grau, isto é:

$P(x) = ax^2 + bx + c,$

onde $a$, $b$ e $c$ são números reais e $a \neq 0.$

Sabemos que P(0) = 6. Assim:

$P(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 6\\\\\Longleftrightarrow \boxed{c = 6.}$

Sabemos ainda que P(-1) = 12. Logo:

$P(-1) = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 6 = 12\\\\\Longleftrightarrow a - b + 6 = 12\\\\\Longleftrightarrow a - b = 6\\\\\Longleftrightarrow a = 6 + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

Como 2 é raiz de P(x), temos:

$P(2) = 0\\\\\Longleftrightarrow a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 6 = 0\\\\\Longleftrightarrow 4a + 2b + 6 = 0.$

Substituindo $a$ pela expressão do lado direito da eq. (I), temos:

$\Longleftrightarrow 4(6 + b) + 2b + 6 = 0\\\\\Longleftrightarrow 24 + 4b + 2b + 6= 0\\\\\Longleftrightarrow 6b = -30\\\\\Longleftrightarrow \boxed{b = -5.}$

Substituindo o valor de $b$ na eq. (I), temos:

$a = 6 + b\\\\\Longleftrightarrow a = 6 - 5\\\\\Longleftrightarrow \boxed{a = 1.}$

Determinamos, assim, os três coeficientes de P(x):

$P(x) = x^2 -5x + 6.$

Dividindo P(x) por x - 3, obtemos:

$\frac{P(x)}{x-3} = \frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)} = \boxed{x - 2.}$

(Esta operação só pode ser realizada para $x \neq 3.$)

Assim:

$P(x) = (x - 2) \cdot (x - 3) + R(x)\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{R(x) = 0.}}$