Question

Seja P(x) um polinômio do 2º grau tal que P(0) = - 20; P(1) + P(2) = -18; P(1) – 3P(2) = 6. Determine o conjunto dos valores de x para os quais P(x) < 0

Answer 1

Como P(0) = -20, então c = -20.

Vamos adotar P(1) como sendo a e P(2) como sendo b. Então:

$\begin{cases} P(1) + P(2) = -18 \\ P(1) - 3P(2) = 6 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a + b = -18 \\ a - 3b = 6 \end{cases} \\\\\\\begin{cases} a + b = -18 \\ a - 3b = 6 \end{cases} = \begin{cases} 3a + 3b = -54 \\ a - 3b = 6 \end{cases} \\\\\\3a + 3b + a - 3b = -54 + 6 \\\\3a + a = -54 + 6 \\\\4a = -48 \\\\a = -\dfrac{48}{4} = 12 \\\\\\a + b = -18 \\\\b = -18 - a = -18-12 = -30$

Portanto, a = P(1) = 12 e b = P(2) = -30.

Escrevendo as duas equações na forma y = ax² + bx + c, temos:

$P(1) = 12: \\12 = a(1)^2 + b(1) - 20 \\12 = a + b - 20 \\a + b = 20 + 12 \\a + b = 32 \\\\P(2) = -30\\-30 = a(2)^2 + b(2) - 20 \\-30 = 4a + 2b - 20 \\4a + 2b = -30 + 20 \\4a + 2b = -10 \\2a + b = -5$

Resolvendo o sistema formado, temos:

$\begin{cases} a + b = 32 \\ 2a + b = -5 \end{cases} = \begin{cases} -a - b = -32 \\ 2a + b = -5 \end{cases} \\\\\\-a -b+2a+b=-32-5 \\\\2a - a = -32 - 5 \\\\a = \bold{-37} \\\\\\b = 32 - a \\\\b = 32 + 37 = \bold{69}$

Portanto, a equação da parábola é igual a y = - 37x² + 69x  - 20.

Os valores para os quais P(x) = 0 são iguais a:

$x_1 = \dfrac{-69 + \sqrt{4761 - 2960}}{2(-37)} = \dfrac{-69 + \sqrt{1801}}{-74} = \dfrac{69 - \sqrt{1801}}{74} \\\\\\x_1 = \dfrac{-69 - \sqrt{4761 - 2960}}{2(-37)} = \dfrac{-69 - \sqrt{1801}}{-74} = \dfrac{69 + \sqrt{1801}}{74}$

Portanto, P(x) < 0 quando x < (69 - √1801)/74 e x > (69 + √1801)/74.