Question

Seja p(x) o polinômio definido por $p(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{100} nx^n$ . Após desenvolver a somatória, determine o resto da divisão de p(x) por x - 1.

Answer 1

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Teorema do resto:  O resto da divisão de um polinômio $\mathsf{p(x)}$ por $\mathsf{x-a}$ é $\mathsf{r=p(a).}$


Aqui temos

$\mathsf{p(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{100}n\cdot x^n}\\\\\\ \mathsf{p(x)=1x+2x^2+3x^3+\ldots+99x^{99}+100x^{100}}$


Usando o Teorema do Resto, temos que o resto da divisão de $\mathsf{p(x)}$ por $\mathsf{x-1}$ é

$\mathsf{r=p(1)}\\\\ \mathsf{r=1\cdot 1+2\cdot 1^2+3\cdot 1^3+\ldots+99\cdot 1^{99}+100\cdot 1^{100}}\\\\ \mathsf{r=1\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 1+\ldots+99\cdot 1+100\cdot 1}\\\\ \mathsf{r=1+2+3+\ldots+99+100}$


Note que o valor de $\mathsf{r}$ é a soma de uma progressão aritmética de 100 termos, cujo primeiro termo é $\mathsf{a_1=1}$ e o último termo é $\mathsf{a_{100}=100.}$

$\mathsf{r=\dfrac{(a_1+a_{100})\cdot 100}{2}}\\\\\\ \mathsf{r=\dfrac{(1+100)\cdot 100}{2}}\\\\\\ \mathsf{r=\dfrac{101\cdot 100}{2}}\\\\\\ \mathsf{r=\dfrac{10\,100}{2}}$


$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{r=5\,050} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  polinômio teorema do resto somatório progressão aritmética pa