Question

Seja P(x) o polinômio com coeficientes reais de menor grau tal que P(-1) = 0, P(0) = 1 e P(2) = 6. Indique a soma dos coeficientes de P(x).

Answer 1

  De início, postarei minha resolução; na sequência, tentarei esmiuçar a explicação.

$\begin{cases}P(-1)=0\\P(0)=1\\P(1)=\\P(2)=6\end{cases}$

 Segue,

$P(-1)=0\\P(-1+1)=0+1\\\boxed{P(0)=1}\Rightarrow\text{confere.}$


 E,

$P(-1)=0\\P(-1+2)=0+1+2\\\boxed{P(1)=3}\Rightarrow\text{ainda nao podemos afimar.}$


 Por fim,

$P(-1)=0\\P(-1+3)=0+1+2+3\\\boxed{P(2)=6}\Rightarrow\text{confere.}$

 Como esta igualdade é verdadeira, isto é, está de acordo com o enunciado, temos que $\boxed{\boxed{P(1)=3}}$.


- inicialmente, coloquei os valores que estão entre parênteses em ordem crescente;
- percebi que: ao somar uma unidade a (- 1), obteria exatamente a segunda condição dada no enunciado;
- Ao somar duas unidades a (- 1), obteria, possivelmente, o valor de P(1) que na verdade é o valor da soma de todos os coeficientes do polinômio em questão;
- a "prova real" é feita seguindo o mesmo raciocínio inicial, ou seja, somando três unidades a (- 1)...  

Answer 2

Verifica-se que os pontos (-1,0), (0,1) e (2,6) não são colineares, logo o polinômio não é de primeiro grau
Vamos então supor que seja um polinômio seja de segundo grau, pois buscamos um polinômio de menor grau possível.

$\boxed{P(x)=ax^2+bx+c}$

Se P(0)=1 temos que
$P(0)=a.0^2+b.0+c=1 \rightarrow \boxed{c=1}$

Assim o polinômio é do tipo:
$\boxed{P(x)=ax^2+bx+1}$

Se P(-1)=0 então:
$P(-1)=a.(-1)^2+b.(-1)+1=0 \rightarrow \boxed{a-b=-1}$
Se P(2)=6 então
$P(2)=a.2^2+b.2+1=6 \rightarrow \boxed{ 4a+2b=5}$

Resolvendo o sistema:
$\left \{ {{a-b=-1} \atop {4a+2b=5}} \right.$

Temos 
$a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{3}{2}$

Logo o polinômio procurado é:

$\boxed{P(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{3x}{2}+1}$