Question

Seja P(x)= ax²+bx+c, em que a, b e c são números reais. Sabendo que P(0)=9, P(1)=10 e P(2)=7 calcule o P(3).

Answer 1

Olá

Temos uma função quadrática completa

$P(x) = ax^{2} + bx + c$

É buscado o valor de $P(3)$ 

Sabendo que 

$P(0) = 9\\\\ P(1) = 10\\\\ P(2) = 7$

Teremos um sistema de equações de três incógnitas

Primeiro, devemos saber que 

$P(0)$ representa a raiz da função ou simplesmente o valor do termo c

Desta forma, teremos o seguinte sistema

$\begin{cases} c = 9\\ a + b + c = 10\\ 4a + 2b + c = 7\\ \end{cases}$

Substituamos o valor do termo c nas duas equações

$\begin{cases} a + b + 9 = 10\\ 4a + 2b + 9 = 7\\ \end{cases}$

Simplifique tais expressões

$\begin{cases} a + b = 10 -9 \\ 4a + 2b = 7-9\\ \end{cases}\\\\\\ \begin{cases} a + b = 1\\ 4a + 2b = -2\\ \end{cases}$

Fatore a expressão na segunda equação

$4a + 2b = -2\\\\\\ 2\cdot(2a + b) = -2$

Divida ambos os termos pelo valor do fator externo

$\dfrac{2\cdot(2a + b)}{2} =\dfrac{-2}{2}\\\\\\ 2a+b=-1$

Remonte o sistema

$\begin{cases} a + b = 1\\ 2a + b = -1\\ \end{cases}$

Isole uma das incógnitas da primeira equação

$a + b = 1\\\\\\ b = 1 -a$

Substitua seu valor na segunda equação

$2a+b=-1\\\\\\ 2a +(1 -a)=-1$

Simplifique a expressão

$2a + (1 - a) = -1\\\\\\ 2a + 1 - a = -1\\\\\\ a + 1 = -1\\\\\\ a = -1-1\\\\\\ a = -2$

Substitua o valor da incógnita na incógnita isolada

$b = 1-a\\\\\\ b = 1-(-2)\\\\\\ b = 1 + 2\\\\\\ b = 3$

Substitua seus valor na função quadrática

$P(x) = -2x^{2} + 3x + 9$

Substitua o valor de x por 3

$P(3) = -2\cdot(3)^{2} + 3\cdot3 + 9$

Simplifique a expressão

$P(3) = -2\cdot 9 + 9 + 9\\\\\\ P(3) -18 + 18\\\\\\ P(3) = 0$

Este é o valor de $P(3)$

$\boxed{P(3) = 0}~~\checkmark$