Question

Seja p um número natural. Para quantos valores de p o desenvolvimento de $(x+ \frac{2}{x^p})^{10}$ admite o termo independente x? Quais são esses valores?

Answer 1

Olá!

Do Binômio de Newton, temos que:

$\\ \mathsf{\left ( x + \frac{2}{x^p} \right )^{10} = \binom{10}{0} \cdot (x)^{10} \cdot \left ( \frac{2}{x^p} \right )^0 + \binom{10}{1} \cdot (x)^{9} \cdot \left ( \frac{2}{x^p} \right )^1 + ... + \binom{10}{10} \cdot (x)^{0} \cdot \left ( \frac{2}{x^p} \right )^{10}}$
 
 Isto posto, não é difícil perceber $\mathsf{p \leq 10}$ (expoente máximo). Afinal, se "p" for maior que 10, nunca conseguiremos obter o mesmo valor para o expoente do primeiro termo (x). Daí, tiramos que, $\mathsf{0 \leq p \leq 10, \ \forall p \in \mathbb{N}}$.
 
 Restringido os possíveis valores de "p", podemos buscar uma relação entre ele e o expoente afim de testar alguns (poucos) números.
 
 Seja "k" um denominador binomial que pertence ao intervalo de "p". Com efeito,

$\\ \mathsf{\binom{10}{k} \cdot (x)^{10 - k} \cdot \left ( \frac{2}{x^p} \right )^k =} \\\\\\ \mathsf{\binom{10}{k} \cdot x^{10 - k} \cdot \frac{2^k}{x^{pk}} =}$

 Ora, haverá termo independente se $\mathsf{10 - k = pk}$. Isto é,

$\\ \mathsf{10 - k = pk} \\ \mathsf{pk + k = 10} \\ \mathsf{k \cdot (p + 1) = 10}$
  
 Ao substituir "p" pelos seus possíveis valores {0, 1, 2, 3,..., 9, 10}, encontramos os possíveis valores de "k"; entretanto, vale destacar que "k" pertence ao conjuntos dos naturais.
 
 Por conseguinte,

 $\\ \bullet \quad \underline{\mathsf{p = 0}}: \quad \mathsf{k \cdot (p + 1) = 10 \Rightarrow k \cdot 1 = 10 \Rightarrow \boxed{\mathsf{k = 10}}} \\\\ \bullet \quad \underline{\mathsf{p = 1}}: \quad \mathsf{k \cdot (p + 1) = 10 \Rightarrow k \cdot 2 = 10 \Rightarrow \boxed{\mathsf{k = 5}}} \\\\ \bullet \quad \underline{\mathsf{p = 2}}: \quad \mathsf{k \cdot (p + 1) = 10 \Rightarrow k \cdot 3 = 10 \Rightarrow \mathsf{k = \frac{10}{3}} \quad \notin \mathbb{N}} \\\\ \bullet \quad \underline{\mathsf{p = 3}}: \quad \mathsf{k \cdot (p + 1) = 10 \Rightarrow k \cdot 4 = 10 \Rightarrow \mathsf{k = \frac{5}{2}} \quad \notin \mathbb{N}} \\\\ \bullet \quad \underline{\mathsf{p = 4}}: \quad \mathsf{k \cdot (p + 1) = 10 \Rightarrow k \cdot 5 = 10 \Rightarrow \boxed{\mathsf{k = 2}}} \\\\ \mathsf{(...)}$ 
 
  Logo, concluí-se que existem QUATRO valores para "p". Ou seja, $\boxed{\boxed{\mathsf{p = \left \{ 0, 1, 4, 9 \right \}}}}$.