Question

Seja p o produto de todos os termos da PG (-$(-\sqrt{2} ;2;-2 \sqrt{2} ;...;-16 \sqrt{2} )$ e s a soma dos termos da pg infinita (1; 1/2; 1/4;1/8;....) então é correto afirmar que:

A-) p.s=$-2^{45} . \sqrt{2}$

B-) p.s= -2.$(\sqrt{2}) ^{45}$

C-) p.s= $-2^{22} . \sqrt{2}$

D-) p.s= $\frac{ \sqrt{2} }{ 2_{45} } }$

E-) p.s= $\frac{ 2^{22} }{2} . \sqrt{2}$

Answer 1

Primeiro pela mais fácil,

dada a P.G. infinita (1,1/2,1/4,1/8,...), notamos que ela é decrescente, então a fórmula da sua soma é dada por:

S = a₁ / (1 - q)

onde a₁ é o primeiro termo e q é a razão da P.G.

q é encontrado dividindo-se dois termos consecutivos, selecionando os dois primeiros:

q = 1/2 / 1 = 1/2
a₁ = 1
S = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2
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A outra P.G.:

(-√2,2,-2√2,...,-16√2)

q = 2/(-√2) = -2√2/2 = -√2

Para descobrirmos quantos termos esta PG tem, lembre-se que o termo geral é:

an = a₁ * q ^ (n-1)

Sendo an = -16√2, q = -√2 e a₁ = -√2

-16 √2 = -√2 * (-√2) ^ (n - 1)
- 16 = (-√2) ^ (n - 1)
- 2 ^ 4 = (- 2 ^ 1/2) ^ (n-1)
-2 ^ 4 = (-2) ^ (n/2 - 1/2)

4 = n /2 - 1/2
n / 2 = 9 / 2
n = 9

Fazendo o produto dos termos dessa PG, sendo os termos:

a1 = (-√2)
a2 = (-√2)(-√2) = (-√2)²
a3 =(-√2)(-√2)(-√2) = (-√2)³
a4 = (-√2)(-√2)(-√2)(-√2) = (-√2)⁴
...
a9 = (-√2)⁹

P = a1 * a2 * a3 * ... * a9
P = (-√2)(-√2)²(-√2)³(-√2)⁴(-√2)⁵(-√2)⁶(-√2)⁷(-√2)⁸(-√2)⁹ = (-√2)⁴⁵

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S * P = 2 * (-√2)⁴⁵ 

R: letra (B)