Question

Seja os vetores u=(3,2,-1) e v=(1,n,-2).
calcular o valor de n para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 27 unidade de volume.

Answer 1

Boa noite Lobo!

Lobo! Para cacular o valor de n basta fazer um matriz do vetores U e V.
Solução

A área do paralelogramo é dada por

$A=|\vec u\times&\vec v|$

Queremos que

$A=|\vec u\times&\vec v|=27$

Fazendo a matriz dos vetores resulta.

$\vec u\times&\vec v= \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&2&-1\\1&n&-2\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{cc}2&-1&\\n&-2&\end{array}\right|\vec\i - \left|\begin{array}{cc}3&-1&\\1&-2&\end{array}\right|\vec\j+ \left|\begin{array}{cc}3&2&\\1&n&\end{array}\right|\vec k$

Multiplicando as matrizes resulta.

$(-4+n)\vec\i-(-6+1)\vec\j+(3n-2)\vec k$

$(-4+n)\vec\i+(6-1)\vec\j+(3n-2)\vec k$

$(-4+n)\vec\i+(5)\vec\j+(3n-2)\vec k=27$

Elevando tudo ao quadrado fica.

$\sqrt{(-4+n) ^{2}+(5) ^{2}+(3n-2)^{2} }=(27)^{2}$

$\sqrt{(16-8n+n ^{2} ) +(25) +(9n^{2} -12n)+4 }=(27)^{2}$

$(16-8n+n ^{2} ) +(25) +(9n^{2} -12n)+4 }=729$

Organizando encontramos uma equação do segundo grau.

$10n ^{2} -20n+45=729$

$10n ^{2} -20n+45-729=0$

$10n ^{2} -20n-684=0$

As raízes da equação vai nos fornecer os valores de n.

Vou resolver por Bhaskara,muito embora tenha outras alternativas de resolução.

Vamos separar os coeficientes da equação.

$a=10$

$b=-20$

$c=-684$

Vamos substituir os coeficientes na formula de Bhaskara que é essa aqui.

$n= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$

$n= \frac{-(-20)\pm \sqrt{(-20)^{2}-4.10.(-684) } }{2.10}$

$n= \frac{20\pm \sqrt{400+27360 } }{20}$

$n= \frac{20\pm \sqrt{27760} }{20}$

$n= \frac{20\pm 4\sqrt{1735} }{20}$

Esses são os valores de n

Fica a criterio se vai passar para decimal.

$n _{1}= \frac{5 +\sqrt{1735} }{5}$

$n _{1}= \frac{5 -\sqrt{1735} }{5}$

Boa noite!

Bons estudos!