Question

seja ômega a superfície cilíndrica circunscrita à superfície esférica S.​

Answer 1

Resposta:

$\Omega : (x + 2y)^2 + (x - 2z)^2 + (y + z)^2 = 6$

Resolução:

Observe que o cilindro circular infinito de raio $R$ é apropriadamente descrito como "a superfície no espaço de todos os pontos $\textbf{x}$ que distam $R$ da reta $\text{s}$". Algebricamente, isto é denotado por

$\Omega: \text{dist(s, }\textbf{x}) = R$

Invocamos, então, a

Fórmula de distância entre ponto e reta no espaço:

"Seja $\text{s}$ uma reta no espaço que passa pelos pontos $\textbf{x}_1 = (x_1, y_1, z_1)$ e $\textbf{x}_2 = (x_2, y_2, z_2)$, descrita vetorialmente por

$\text{s}: \textbf{v}(t) = \left[\begin{array}{c}x_1 + t(x_2 - x_1)\\y_1 + t(y_2 - y_1)\\z_1 + t(z_2 - z_1)\end{array}\right]$,

e seja $\textbf{x}_0 = (x_0, y_0, z_0)$ um ponto arbitrário. Logo, a distância entre $\textbf{x}_0$ e $\text{s}$ é dada por

$\text{dist(s, }\textbf{x}_0 \text{)} = \frac{\lvert(\textbf{x}_0 - \textbf{x}_1)\times(\textbf{x}_0 - \textbf{x}_2) \rvert}{\lvert \textbf{x}_2 - \textbf{x}_1\rvert}$."

A reta $\text{s}$ no caso da superfície cilíndrica $\Omega$ descrita é, obviamente, a que passa por $\textbf{x}_1 = (0, 0, 0)$ e $\textbf{x}_2 = (2, -1, 1)$. Deixemos também que $\textbf{x} = \textbf{x} = (x, y, z)$ na fórmula acima. Também temos que, como a superfície esférica $\text{S}$ é a unitária, $R = 1$. Logo, a equação da superfície cilíndrica será dada por

$\Omega : 1 = \frac{\lvert(x, y, z)\times(x - 2, y + 1, z - 1)\rvert }{\lvert(2, -1, 1)\rvert} \\\\\Omega : \sqrt{6} = \sqrt{\lvert x + 2 y\rvert^2 + \lvert x - 2 z\rvert^2 + \lvert-y - z\rvert^2}$

Teoricamente, esta resposta já está correta. Entretanto, podemos simplificar assim:

$\Omega : (x + 2y)^2 + (x - 2z)^2 + (y + z)^2 = 6$.

Alternativamente, também podemos ter

$\Omega : 2 x^2 + 4 x y - 4 x z + 5 y^2 + 2 y z + 5 z^2 - 6 = 0$.