Question

Seja o vetor v= (a - 1)i + (a + 2)j + k. Qual o valor de (a) para que |v|= √10

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Cada vetor possui três dimensões, ou seja, uma componente no eixo "x", no eixo "y" e no eixo "z", portanto o vetor "v" pode ser expresso como:

$\large\boxed{ \vec{v} = v_{ x\hat{i}} + v_{y \hat{j}} + v_{z \hat{k}}}$

A questão nos fornece o vetor "v" como:

$\star \: \: \vec{v} = (a - 1) \hat{i} + (a + 2) \hat{j} + 1 \hat{k} \: \: \star$

A pergunta da questão é calcular o módulo do vetor "v" de modo que ele seja igual √10 e consequentemente devemos achar o valor de "a".

Para calcular o módulo de um vetor, podemos usar tal "fórmula":

$\boxed{ | \vec{v}| = \sqrt{(v_{x \hat{i}}) {}^{2} + (v_{y \hat{j}}) {}^{2} + (v_{z \hat{k}}) {}^{2} }}$

No local das componentes devemos substituir os coeficientes de cada eixo (i, j e k).

Substituindo os dados:

$| \vec{v} | = \sqrt{(a - 1) {}^{2} + (a + 2) {}^{2} + (1) {}^{2} }$

A questão diz que o módulo de "v" é igual a √10, então vamos substituir:

$\sqrt{10} = \sqrt{(a - 1) {}^{2} + (a + 2) {}^{2} + (1) {}^{2} } \\ \\ \sqrt{10} = \sqrt{(a - 1).(a - 1) + (a + 2).(a + 2) + 1.1} \\ \\ \sqrt{10} = \sqrt{a.a - 1.a - 1.a + 1.1 + a.a + 2.a + 2.a + 2.2 + 1} \\ \\ \sqrt{10} = \sqrt{a {}^{2} - 2a + 1 + a {}^{2} + 4a + 4+ 1} \\ \\ \sqrt{10} = \sqrt{2a {}^{2} + 2a + 6 }$

Eleve ambos os lados ao quadrado para que a raiz possa sumir:

$( \sqrt{10} ) {}^{2} = ( \sqrt{2a {}^{2} + 2a + 6 }) {}^{2} \\ \\ 10 = 2a {}^{2} + 2a + 6 \\ \\ 2a {}^{2} + 2a + 6 - 10 = 0 \\ \\ \boxed{2a {}^{2} + 2a - 4 = 0}$

Vamos resolver essa equação do segundo grau:

I) Coeficientes:

$\begin{cases}a = 2 \\ b = 2 \\ c = - 4 \end{cases}$

II) Bháskara:

$\boxed{a = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c } }{2.a} } \\ \\ a= \frac{ - 2 \pm \sqrt{(2) {}^{2} - 4.2.( - 4)} }{2.2} \\ \\ a= \frac{ - 2 \pm \sqrt{4 + 32} }{4} \\ \\ a = \frac{ - 2 \pm \sqrt{36} }{4} \\ \\ a= \frac{ - 2 \pm6}{4} \\ \\ a_1 = \frac{ - 2 + 6}{4} \\ a_1 = \frac{4}{4} \\ \boxed{a_1 = 1} \\ \\ a_2 = \frac{ - 2 - 6}{4} \\ a_2 = \frac{ - 8}{4} \\ \boxed{a_2 = - 2}$

Com isso podemos marcar a letra d).

Resposta: letra d).

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️