Question

Seja o vetor v=( 2, -1, 1), obter: um vetor ortogonal ao vetor v; um vetor unitário ortogonal ao vetor v; um vetor de módulo 4 ortogonal ao vetor v.

Answer 1

$\vec{v}=(2,-1,~1)$

Um vetor w é ortogonal a v se o produto interno entre v e w é 0

$\vec{v}\cdot\vec{w}=0\\\\(2,-1~1)\cdot(x,y,z)=0\\\\2x-y+z=0$

É claro que esse sistema possui infinitas soluções, mas só precisamos de uma delas. Fazendo x = 1 e y = 2, temos

$2\cdot1-2+z=0\\\\2-2+z=0\\\\0+z=0\\\\\boxed{\boxed{z=0}}$

Então, o vetor w = (1, 2, 0) é ortogonal a v
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Para encontrar um vetor unitário ortogonal a v, podemos normalizar o vetor w:

$\^w=\dfrac{1}{||\vec{w}||}\vec{w}=\dfrac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+0^{2}}}(1,~2,~0)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1,~2,~0)$
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Para encontrarmos um vetor de módulo 4 ortogonal a v, basta fazermos:

$\vec{u}=4\^w~~~~(pois~||\vec{u}||=||4\^w||=|4|||\^w||=4||\^w||=4\cdot1=4)\\\\\\\boxed{\boxed{\vec{u}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}(1,~2,~0)}}$