Question

Seja o triângulo equilatero T1 cujo lado mede x cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de T1, obtém-se um novo triângulo equilatero T2; unindo-se os pontos médios dos lados do triangulo T2, obtém-se um novo triangulo equilátero T3; e, assim sucessivamente. Nessas condições se a área do triangulo T9 é igual a 25√3/64 cm∧2, então x é igual a:

a-640

b-520

c-440

d-320

e-480

Answer 1

O lado do triângulo T1 é t1 = x. Se T2 é um triângulo equilátero formado a partir dos pontos médios de T1, o lado de T2 é t2 = x/2. 

Portanto, os lados dos triângulos T1, T2,...,T9 formam uma PG cujo primeiro termo é x e cuja razão é 1/2. Logo:

an = a1.q^(n-1)
t9 = t1.(1/2)^(9-1)
t9 = x.(1/2)^8
t9 = x/256

A área de T9 é dada por:
A = L²√3/4
A9 = t9².√3/4
25.√3/64 = (x/256)².√3/4
x² = 25.256².4/64
x² = 5².256².2²/8²
x = 5.256.2/8
x = 320 cm

Alternativa D.