Question

Seja o triangulo de vértices A:(3,4,4),B(2,-3,4)e C(6,0,4).Determine o angulo interno ao vértice A

Answer 1

A = (3, 4, 4)
B = (2, -3, 4)
C = (6, 0, 4)

Utilizando Produto Vetorial:

AB . AC = |AB| . |AC| . cos(x), sendo x o ângulo interno do vertice A

AB = B - A = (2, -3, 4) - (3, 4, 4) = (-1, -7, 0)
AC = C - A = (6, 0, 4) - (3, 4, 4) = (3, -4, 0)

AB . AC = (-1, -7, 0) . (3, -4, 0) = -3 + 28 + 0 = 25

$\left | AB \right |=\sqrt{(-1)^{2}+(-7)^{2}+(0)^{2}}=\sqrt{1+49+0} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$\left | AB \right |=\sqrt{(3)^{2}+(-4)^{2}+(0)^{2}}=\sqrt{9+16+0} = \sqrt{25} = 5$

Isolando cos(x) na equação, teremos:

$cos (x) = \frac{AB . AC}{|AB|.|AC|} \\ \\ cos (x) = \frac{25}{(5\sqrt{2}).(5)} \\ \\ cos (x) = \frac{25}{25\sqrt{2}}\\ \\ cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Racionalizando:

$cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

E bem sabemos que o ângulo cujo o cosseno é $\sqrt{2}/2$ é 45°