Question

Seja o triângulo da figura, com b = √6, c = 1 + √3 e  = 45°.
Calcule o a e R.

Me ajudem, pfvr

Answer 1

Resposta: usa lei dos cossenos e depois usa que o centro do círculo circunstrito estáé

É também o baricentro daí, R=2h/3 sendo h a altura do triângulo calcula ela por PitágorasPitagorasPitágorasPitágorasPitagorasPitágoras

Explicação passo a passo:

Answer 2

Usando a Lei dos cossenos, o Teorema de Pitágoras, a relação entre os

segmentos , do segmento que passa pelo Baricentro de um triângulo,

obtém-se:

$a = 2 ...u.c.$

$Raio =\dfrac{2\sqrt{3} }{3}....u.c.$

Cálculo de "a"

Quando num triângulo sabemos as dimensões de dois lados e a
amplitude do ângulo por eles formados, para calcular a dimensão do terceiro lado usa-se a Lei dos Cossenos.

a² = b² + c² - 2 * b * c * cos (∡ A )

• " a " = lado desconhecido

• ∡ A = o ângulo interno oposto ao lado " a "

Neste caso:

$a^2= (\sqrt{6} )^2+(1+\sqrt{3})^2-2*\sqrt{6} *(1+\sqrt{3})*cos(45)$

$a^2= 6+(1^2+2*1*\sqrt{3} +(\sqrt{3})^2)-2*\sqrt{6} *(1+\sqrt{3})*\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

No último termo

$-2*\sqrt{6} *(1+\sqrt{3})*\dfrac{\sqrt{2} }{2}$  

o 2 a multiplicar cancela-se com o 2 no denominador da fração.

$a^2= 6+1+3+2\sqrt{3} -\sqrt{6} *(1+\sqrt{3})*{\sqrt{2}$

$a^2=10+2\sqrt{3} +(-\sqrt{6} *1-\sqrt{6}* \sqrt{3})*{\sqrt{2}$

$a^2=10+2\sqrt{3} +(-\sqrt{6} *\sqrt{2} -\sqrt{6}* \sqrt{3}*\sqrt{2} )$

$a^2=10+2\sqrt{3} +(-\sqrt{6*2} -\sqrt{6*3*2} )$

$a^2=10+2\sqrt{3} -\sqrt{12} -\sqrt{36}$

$a^2=10+2\sqrt{3} -\sqrt{4*3} -6$

$a^2=10-6+2\sqrt{3} -\sqrt{4} *\sqrt{3}$

$a^2=4+2\sqrt{3} -2 *\sqrt{3}$

$a^2=4+0$

a = √4

a = 2 u.c.

Cálculo do R ( raio )

Esboço da figura, com introdução do triângulo COB

               A

                º

             º  |   º

          º     |      º

       º        |        º        

     º         * O       º

   º     *      |     *      º

 º *            |           * º

*ººººººººººº|ººººººººººº*

C              D                 B

Dados:

ABC = triângulo inscrito na circunferência

O = centro da circunferência e centro do triângulo ( baricentro)

AO = OC = OB = raios da circunferência         ( I )

Triângulo COB = triângulo isósceles, pois CO = OB = raios de uma mesma

circunferência

OD = altura do triângulo COB, isósceles

∡ ODB = 90º= ângulo reto

Triângulo ODB = retângulo em D

CD = DB

CB = 2   já calculado acima

DB = 2/2 = 1

Vou escrever duas equações tendo presente várias regras, teoremas

relativos aos triângulos.

1º - Num triângulo isósceles a altura tirada do vértice superior ( O ) para a

base CB , divide-a em dois segmentos iguais.

2º - A altura de um triângulo é perpendicular à base.

3º - Num triângulo , o seu centro ( centro de gravidade ou baricentro) tem

dois segmentos associados a ele.

Neste caso AO e OD.

Prova-se que o segmento AO = 2 * OD  

Sendo AO o raio da circunferência circunscrita ( que está à volta do

triângulo ABC, sendo os vértices deste triângulo, pontos da

circunferência)

quando se conhecer a dimensão de OD, sabe-se de imediato AO =  raio.

Com o Teorema de Pitágoras

$OB^2 = OD^2 + DB^2$

$OB^2 = OD^2 + 1^2$     uma equação

A outra equação é:

AO = 2*OD

Sistema de duas equações

{ OB² = OD² + 1

{ AO = 2*OD

Mas OB = AO    por ( I )

{ AO² = OD² + 1

{ AO = 2*OD

⇔

Usando o valor do AO , da 2ª equação e pelo Método de Substituição vou usá-lo na 1ª equação

{ (2*OD)² = OD² + 1

{ AO = 2*OD

⇔

Resolvo a primeira equação

{ 4 * OD² - OD² =  1

{ AO = 2*OD

⇔

{ 3OD²  =  1

{ AO = 2*OD

⇔

{ OD²  =  1/3

{ AO = 2*OD

⇔

${OD^2} = \dfrac{1}{3}$

AO = 2*OD

⇔

${OD} = \sqrt{\dfrac{1}{3} } =\dfrac{\sqrt{1} }{\sqrt{3} } =\dfrac{1}{\sqrt{3} }=\dfrac{1*\sqrt{3} }{\sqrt{3} *\sqrt{3} }=\dfrac{\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^2 } =\dfrac{\sqrt{3} }{3 }$

Então

$AO =2*\dfrac{\sqrt{3} }{3} =\dfrac{2\sqrt{3} }{3}$

$Raio =\dfrac{2\sqrt{3} }{3}$

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Observação  1 → Quadrado de um produto

O quadrado de um produto é igual ao produto dos quadrados

Exemplo:

(2*OD)²  = 2² * OD²

Observação  2 → Racionalizar uma fração

Quando o denominador de uma fração é uma raiz quadrada, de um valor,

para racionalizar o denominador, multiplica-se o numerador  e o

denominador , pela raiz quadrada que está no denominador.

Exemplo:

$\dfrac{1}{\sqrt{3} }=\dfrac{1*\sqrt{3} }{\sqrt{3} *\sqrt{3} }=\dfrac{\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^2 } =\dfrac{\sqrt{3} }{3 }$

     

Observação  3 → Radical com índice igual ao expoente do radicando

O índice e o expoente cancelam-se mutuamente, pois a radiciação e a

potenciação são operações inversas, que se cancelam quando usadas

simultaneamente.

Exemplo:

$(\sqrt{3})^2=(\sqrt[2]{3} })^2= \sqrt[2]{3^2} }=3$

Observação  4 → Elementos de um radical

Exemplo :

$\sqrt[3]{7^2}$  

→ índice  é 3

→ radicando é  7²

→ expoente do radicando é 2

→ símbolo de radical é √

Bons estudos.

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( * )  multiplicação      ( / )    divisão          ( u.c. )  unidade de comprimento

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.