Question

Seja o triângulo ABC de vértices A( - 3, 1, 4 ), B( - 4, - 1 , 0 ) e C( - 4, 3, 5 ). Calcular medida da altura relativa ao lado BC

Answer 1

A medida da altura é dada por:

$h=\frac{||(BA)x(BC)||}{||BC||} \\ \\ h=\frac{||(A-B)x(C-B)||}{||C-B||} \\ \\ h=\frac{||(-3,1,4)-(-4,-1,0)x(-4,3,5)-(-4-1,0)||}{||C-B||} \\ \\ h=\frac{||(1,2,4)x(0,4,5)||}{||(0,4,5||} \\ \\ h=\frac{||(1,2,4)x(0,4,5)||}{\sqrt{0^2+4^2+5^2}} \\ \\ h=\frac{||(1,2,4)x(0,4,5)||}{\sqrt{16+25}} \\ \\ h=\frac{||(1,2,4)x(0,4,5)||}{\sqrt{41}}$

O numerador será uma matriz, onde o determinante irá gerar uma nova coordenada:

$det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&4\\0&4&5\end{array}\right] \\ \\ \\ 10i+4k-(5j+16i) \\ \\ 10i+4k-5j-16i \\ \\ -6i-5j+4k \\ \\ (-6,-5,4)$

Continuando na primeira fórmula:

$h=\frac{||(-6,-5,4)||}{\sqrt{41}} \\ \\ h=\frac{\sqrt{(-6)^2+(-5)^2+4^2}}{\sqrt{41}} \\ \\ h=\frac{\sqrt{36+25+16}}{\sqrt{41}} \\ \\ h=\frac{\sqrt{77}}{\sqrt{41}} \\ \\ h=\frac{\sqrt{77}}{\sqrt{41}}.\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}} \\ \\ h=\frac{\sqrt{3157}}{41}$

Answer 2

Boa dia Maicon

sejam os pontos A( - 3, 1, 4 ), B( - 4, - 1 , 0 ) , C( - 4, 3, 5 )

vetor  BA = A - B = (1, 2, 4) 
vetor  CA = A - C = (1, -2, -1)

produto vetorial
BA x CA  
i       j      k       i       j  
1       2      4       1       2
1      -2     -1       1      -2

-2i + 4j - 2k - 2k + 8i + j = 6i + 5j - 4k = (6, 5, 4)

|BAxCA| = √6² + 5² + 4)² = √(36 + 25 + 16) = √77

área
A = √77/2 

lado BC 

BC = C - B = (0, 4, 5)

lBCl = √(0 + 16 + 25) = √41

altura relativa

A = BC*a/2
a = 2A/BC = √77/√41 = √(77*41)/41 = √3157/41