Question

Seja o sistema de equações a seguir:

X/Y + Y/X = 2,9
X-Y= 12

Considerando que X e Y são número naturais, qual o valor de x e y?

Answer 1

(i) Vamos trabalhar com a primeira equação dada e ver o que aparece:

$\dfrac xy+\dfrac yx = 2,9\Rightarrow \dfrac{x^2+y^2}{xy} = 2,9$

(ii) Relembrando um dos produtos notáveis...

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\Rightarrow \underline{x^2+y^2=(x-y)^2+2xy}$

Agora vamos usar isso na primeira equação depois de trabalharmos com ela:

$\dfrac{x^2+y^2}{xy}=2,9\\ \dfrac{(x-y)^2+2xy}{xy}=2,9\Rightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy} + \dfrac{2xy}{xy} = 2,9\\ \dfrac{12^2}{xy} + 2 = 2,9\\ \dfrac{144}{xy} = 0,9\\ \\ \underline{xy=160}$

(iii) Temos dois números naturais cujo produto vale 160. Nesse ponto ou resolvemos uma equação do segundo grau ou vemos quais números naturais têm produto 160 e diferença 12. Vamos por esse segundo caminho, que é bem mais tranquilo :P

$160 = 160.1 \ (\mathrm{n\~ao \ serve,\ pois}\ 160-1\neq 12)\\ 160 = 80.2 \ (\mathrm{n\~ao \ serve,\ pois}\ 80-2=78\neq 12)\\ 160 = 40.4 \ (\mathrm{n\~ao \ serve,\ pois}\ 40-4=36\neq 12)\\ 160 = 32.5 \ (\mathrm{n\~ao \ serve,\ pois}\ 32-5=27\neq 12)\\ \boxed{160 = 20.8 \ (\mathrm{serve,\ pois}\ 20-8=12)} \\ 160 = 16.10 \ (\mathrm{n\~ao \ serve,\ pois}\ 16-10=6\neq 12)$

Portanto encontramos que x=20 e y=8, ambos números pares.

R: a) x e y são ambos pares