Question

seja o retângulo MNOP inscrito no triangulo ABC seguinte. Sabendo-se que AC= 20m, BC= 15m e AB=25m, qual é a área maxima do retângulo MNOP?

Answer 1

Pelos dados do enunciado, desenhei a seguinte figura que segue em anexo.

Temos um triângulo retângulo, cujos catetos medem 15 cm e 20 cm e a hipotenusa mede 25 cm (perceba que 15² + 20² = 25²).

Chamando as dimensões do retângulo de x e y, sua área é expressa por:

A = x · y  (I)

E as medidas dos outros triângulos menores ficam:

TRIÂNGULO I: (15 - y) e x

TRIÂNGULO II: y e (20 - x)

Por semelhança de triângulos, temos:

15 / (15 - y) = 20 / x

15x = 20(15 - y)

15x = 300 - 20y

15x + 20y = 300

3x + 4y = 60

4y = 60 - 3x

y = (60 - 3x)/4  (II)

Substituindo II em I, temos:

A = x · (60 - 3x)/4)

A = (60x - 3x²)/4

A = - 3x²/4 + 15x

A área é dada por um função do 2° grau. Como a < 0, o máximo valor de x é dado por:

Xv = - b / 2a

Xv = - 15 / 2(-3/4)

Xv = - 15 / -3/2

Xv = 15 / 3/2

Xv = 15 · 2/3

Xv = 30/3

Xv = 10

Portanto, o máximo valor de x deve ser de 10 cm.

Agora, substituímos na equação da área para acharmos a área máxima.

A = - 3(10)²/4 + 15(10)

A = -3.100/4 + 150

A = - 300/4 + 150

A = - 75 + 100

A = 25 m²