Question

Seja o produto interno usual no R4 e o subespaço de dimensão 2 dado por:
S = [(1, 1, 0, -1), (1, -2, 1, 0)]. Determine St (espaço vetorial ortogonal a S) e uma base ortogonal de St. Qual é a dimensão de St.

Answer 1

Temos o espaço vetorial $\mathsf{S=\big[(1,1,0,-1),\,(1,-2,1,0)\big]}$

Queremos encontrar o complemento ortogonal de S, definido por

$\mathsf{S^{\perp}:=\{\overrightarrow{x}\in\mathbb{R}^{4}:\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{s}=0\,\,\,\,\forall\,\,s\in S\}}$

Pode-se mostrar que esse espaço é um subespaço vetorial, logo basta encontrarmos uma base para esse subespaço.

Se $\mathsf{(x,y,z,w)\in S^{\perp}}$, sabemos que

$\begin{cases}\mathsf{(x,y,z,w)\cdot(1,1,0,-1)=0}\\\mathsf{(x,y,z,w)\cdot(1,-2,1,0)=0}\end{cases}$

Na forma matricial, temos o sistema

$\left[\begin{array}{cccc}1&\,\,\,\,1&0&-1\\1&-2&1&\,\,\,\,0\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$

Podemos simplificar esse sistema via escalonamento:

$\left[\begin{array}{cccc}1&\,\,\,\,1&0&-1~~~~~~~~0\\1&-2&1&\,\,\,\,0~~~~~~~~0\end{array}\right]\,\,\ell_{2}\leftarrow\ell_{2}-\ell_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&\,\,\,\,1&0&-1~~~~~~~~0\\0&-3&1&\,\,\,\,1~~~~~~~~0\end{array}\right]$

Teremos duas variáveis livres: z, w

Da segunda linha, temos que

$\mathsf{-3y+z+w=0\,\,\,\Longleftrightarrow-3y=-z-w\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,y=\frac{1}{3}z+\frac{1}{3}w}$

Da primeira, tiramos 

$\mathsf{x+y-w=0\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,x=w-y\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,x=w-\big(\frac{1}{3}z+\frac{1}{3}w\big)}\\\\\Longleftrightarrow\,\,\,\mathsf{x=-\frac{1}{3}z+\frac{2}{3}w}$

Portanto,

$\mathsf{(x,y,z,w)=\big(-\frac{1}{3}z+\frac{2}{3}w,\,\,\frac{1}{3}z+\frac{1}{3}w,\,\,\,z,\,\,w\big)}\\\\\mathsf{=\big(-\frac{1}{3}z,\,\,\frac{1}{3}z,\,\,z\,\,0\big)+\big(\frac{2}{3}w,\,\,\frac{1}{3}w,\,\,0,\,\,w\big)}\\\\\mathsf{=z\big(-\frac{1}{3},\,\frac{1}{3},\,1,\,0\big)+w\big(\frac{2}{3},\,\frac{1}{3},\,0,\,1\big)}$

Encontramos que (x,y,z,w) é combinação linear de dois vetores. Além disso, esses vetores são linearmente independentes, já que um não é múltiplo do outro. Com isso, encontramos uma base para o complemento ortogonal de S

$\mathsf{S^{\perp}=\big[\big(-\frac{1}{3},\,\frac{1}{3},\,1,\,0\big),\,\,\big(\frac{2}{3},\,\frac{1}{3},\,0,\,1\big)\big]=\big[(-1,\,1,\,3,\,0),\,\,(2,\,1,\,0,\,3)\big]}$

(apenas multipliquei os dois vetores por 3 para remover as frações. Os dois vetores encontrados são múltiplos de vetores de uma base, logo também são uma base do mesmo espaço)

Além disso, como a base de $\mathsf{S^{\perp}}$ apresenta dois vetores, temos que a dimensão desse espaço também é 2.
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Podemos encontrar uma base ortogonal para o complemento ortogonal de S utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt

No caso de um espaço gerado por $\mathsf{v_{1},\,v_{2}}$ linearmente independentes, o processo nos dá base ortogonal $\mathsf{u_{1},\,u_{2}}$ fazendo

$\bullet\,\,\mathsf{u_{1}=v_{1}}\\\\\bullet\,\,\mathsf{u_{2}=v_{2}-proj_{u_{1}}v_{2}}$

Onde $\mathsf{proj_{\overrightarrow{x}}\overrightarrow{y}=\bigg(\dfrac{\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{x}}{\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{x}}\bigg)\overrightarrow{x}}$ é a projeção de y em x.

Portanto, a base ortogonal será dada por

$\mathsf{u_{1}=v_{1}=(-1,\,1,\,3,\,0)}\\\\\mathsf{u_{2}=v_{2}-proj_{u_{1}}v_{2}=(2,\,1,\,0,\,3)-proj_{(-1,1,3,0)}(2,\,1,\,0,\,3)}$

Calculando a projeção:

$\mathsf{proj_{(-1,1,3,0)}(2,\,1,\,0,\,3)=\bigg(\dfrac{(2,1,0,3)\cdot(-1,1,3,0)}{(-1,1,3,0)\cdot(-1,1,3,0)}\bigg)(-1,1,3,0)}\\\\\\\mathsf{proj_{(-1,1,3,0)}(2,\,1,\,0,\,3)=\bigg(\dfrac{-2+1+0+0}{1+1+9+0}\bigg)(-1,1,3,0)}\\\\\\\mathsf{proj_{(-1,1,3,0)}(2,\,1,\,0,\,3)=-\dfrac{1}{11}(-1,1,3,0)}\\\\\\\mathsf{proj_{(-1,1,3,0)}(2,\,1,\,0,\,3)=\bigg(\dfrac{1}{11},-\dfrac{1}{11},-\dfrac{3}{11},0\bigg)}$

Logo:

$\mathsf{u_{2}=(2,1,0,3)-\bigg(\dfrac{1}{11},-\dfrac{1}{11},-\dfrac{3}{11},0\bigg)}\\\\\\\mathsf{u_{2}=\bigg(\dfrac{22}{11},\,\dfrac{11}{11},\,0,\,\dfrac{33}{11}\bigg)-\bigg(\dfrac{1}{11},-\dfrac{1}{11},-\dfrac{3}{11},0\bigg)}\\\\\\\mathsf{u_{2}=\bigg(\dfrac{22}{11}-\dfrac{1}{11},\,\,\,\dfrac{11}{11}+\dfrac{1}{11},\,\,\,0+\dfrac{3}{11},\,\,\,\dfrac{33}{11}-0\bigg)}\\\\\\\mathsf{u_{2}=\bigg(\dfrac{21}{11},\,\dfrac{12}{11},\dfrac{3}{11},\dfrac{33}{11}\bigg)}$

Concluímos que uma base ortogonal para o complemento ortogonal de S é dada por

$\mathsf{\bigg[(-1,1,3,0),\,\bigg(\dfrac{21}{11},\,\dfrac{12}{11},\dfrac{3}{11},\dfrac{33}{11}\bigg)\bigg]}$

Como os vetores da base são ortogonais, quaisquer múltiplos deles também serão, logo podemos multiplicar o segundo por 11/3, por fins de estética, chegando em

$\boxed{\boxed{\mathsf{S^{\perp}=\big[(-1,1,3,0),\,(7,4,1,11)\big]}}}$