Question

Seja o plano Pi1 paralelo ao plano Pi2 : 3x-2y-6z-5=0 e que distancia 5 unidades da origem do sistemas de coordenadas. Com base nas informações apresentada, avalie as afirmações a seguir: I. O vetor n1 é (3,-2,-6). II. O vetor normal n1 é múltiplo do vetor normal n2. ​III. O vetor normal n1 é paralelo ao vetor normal n2. IV. O plano Pi1 pode ser tanto 3x-2y-6z+35=0 como 3x-2y-6z-35=0.

Answer 1

Utilizando os conhecimentos sobre planos e distância entre plano e ponto da Geometria Analítica, temos que, todas as afirmações são verdadeiras, alternativa 5.

Vetor normal

O vetor normal de um plano ax + by + cz + d = 0 é o vetor (a, b, c) ou qualquer vetor paralelo a esse, com exceção do vetor nulo.

Temos que, o vetor normal do plano $\pi_2$ é $n_2 = (3, -2, -6)$. Como o plano $\pi_1$ é paralelo a $\pi_2$, temos que, o vetor $(3, -2, -6)$ é um vetor normal desse plano. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Como os planos são paralelos, então, o vetor normal de qualquer um dos planos é paralelo ao vetor normal do outro plano, o que é equivalente a dizer que os vetores são múltiplos um do outro. Ou seja, as afirmações II e III são verdadeiras.

Qual a equação do plano?

O plano $\pi_1$ possui equação na forma $3x - 2y -6z + d = 0$. Como a distância entre esse plano e a origem é igual a 5 unidades, temos que, pela fórmula de distância entre um ponto e um plano:

$\dfrac{ \vert 3*0 -2*0 -6*0 + d \vert }{\sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2}} = 5 \Rightarrow \dfrac{ \vert d \vert}{7} = 5 \Rightarrow \vert d \vert = 35 \Rightarrow d = \pm 35$

Dessa forma, concluímos que a afirmação IV é verdadeira.

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#SPJ1

Answer 2

Resposta: Alternativa 5

Explicação passo a passo:

Utilizando os conhecimentos sobre planos e distância entre plano e ponto da Geometria Analítica, temos que, todas as afirmações são verdadeiras, alternativa 5.

Vetor normal

O vetor normal de um plano ax + by + cz + d = 0 é o vetor (a, b, c) ou qualquer vetor paralelo a esse, com exceção do vetor nulo.

Temos que, o vetor normal do plano  é . Como o plano  é paralelo a , temos que, o vetor  é um vetor normal desse plano. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Como os planos são paralelos, então, o vetor normal de qualquer um dos planos é paralelo ao vetor normal do outro plano, o que é equivalente a dizer que os vetores são múltiplos um do outro. Ou seja, as afirmações II e III são verdadeiras.

Qual a equação do plano?

O plano  possui equação na forma . Como a distância entre esse plano e a origem é igual a 5 unidades, temos que, pela fórmula de distância entre um ponto e um plano:

Dessa forma, concluímos que a afirmação V é verdadeira.