Seja o pi : 2 x plus space 4 y minus space z minus 4 equals space 0 , determinar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados e, bem como, a reta interseção deste plano com o plano xOy. Assinale a opção que representa respectivamente os elementos procurados.
Soluções para a tarefa
Oi!
Para responder essa questão, primeiro precisaremos formar a equação de 3 retas, com eixo x, eixo y, e eixo z, e depois encontrar alguns pontos de interseção do plano com esses eixos.
1 -
--> Dois pontos representativos do eixo 0x: A = (1,0,0) e B = (3,0,0).
v = AB
v = B - A
v = (2,0,0)
r: x = (1,0,0) + λ(2,0,0)
|x = 1 + 2λ
|y = 0
|z = 0
--> Para o eixo 0y: A = (0,2,0) e B = (0,5,0)
v = AB
v = B - A
v = (0,3,0)
s: x = (0,2,0) + λ(0,3,0)
|x = 0
|y = 2 + 3λ
|z = 0
--> Dois pontos para o eixo 0z: A = (0,0,1) e B = (0,0,4)
v = AB
v = B - A
v = (0,0,3)
t: x = (0,0,1) + λ(0,0,3)
|x = 0
|y = 0
|z = 1 + 3λ
2 - A interseção com o eixo 0x:
|x = 1 + 2λ
|y = 0
|z = 0
2x + 4y - z - 4 = 0
2(1 + 2λ) + 4·0 - 0 - 4 = 0
2 + 4λ - 4 = 0
4λ = 2
λ = 1/2
|x = 1 + 2 · 1/2
|y = 0
|z = 0
--> Interseçãp em P = (2,0,0)
3 - A interseção com o eixo 0y:
|x = 0
|y = 2 + 3λ
|z = 0
2x + 4y - z - 4 = 0
2·0 + 4(2 + 3λ) - 0 - 4 = 0
8 + 12λ - 4 = 0
12λ = - 4
λ = -1/3
|x = 0
|y = 2 + 3·(-1/3)
|z = 0
Interseção em P = (0,1,0)
4 - Interseção com o eixo 0z:
|x = 0
|y = 0
|z = 1 + 3λ
2x + 4y - z - 4 = 0
2·0 + 4·0 - (1 + 3λ) - 4 = 0
- 1 - 3λ - 4 = 0
- 3λ = 5
λ = -5/3
|x = 0
|y = 0
|z = 1 + 3·(-5/3)
Interseção em P = (0,0,-4)
De posse da equação paramétrica e vetorial :
|x = λ
|y = 1 - 1/2λ
|z = 0
u: x = (0,1,0) + λ(1,-1/2,0)