Question

Seja o paralelepípedo ABCDEFGH, sendo u = AB, v = AD e w = AE. Calcule AG e HB em função de u, v e w.

Obs.: Tem em anexo a figura do paralelepípedo.

Answer 1

Encontrando $\overrightarrow{AG}$:

Note que ACGE é um paralelogramo. Com isso, podemos usar a Regra do Paralelogramo e escrever: 

$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}\iff \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{w}~(i)$

Agora, devemos encontrar \overrightarrow{AC}. Note que ABCD é um paralelogramo. Com isso, pela mesma regra usada anteriormente, podemos dizer:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\iff \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$

Substituindo o que encontramos agora em (i):

$\boxed{\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}}$

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Encontrando $\overrightarrow{HB}$:

Note que HFBD é um paralelogramo. Com isso, podemos usar a Regra do Paralelogramo e escrever: 

$\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{HD}$

Veja que $\overrightarrow{HD}=-\overrightarrow{AE}\iff \overrightarrow{HB}=-\overrightarrow{w}$. Logo, substituindo acima:

$\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HF}-\overrightarrow{w}~(i)$

Agora, devemos encontrar $\overrightarrow{HF}$. Note que HGFE é um paralelogramo. Com isso, pela mesma regra usada anteriormente, podemos dizer:

$\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{HG}\iff \overrightarrow{HF}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\iff\\\\ \overrightarrow{HF}=-\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$

Substituindo o que encontramos agora em (i):

$\boxed{\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}}$