Question

seja o operador linear:

Answer 1

a)

para o núcleo

$T(x,y,z)=(0,0)$

$(x-y-2z,-x+2y+z)=(0,0)$

sistema:

$\ \ \ x-y-2z=0\\-x+2y+z=0$

multiplica a primeira equação por dois e somando:

x-3z=0

$z=\frac{x}{3}$

resolve em y

$y=\frac{x}{3}$

$N(T)=\{(x,\frac{x}{3} , \frac{x}{3} ), x \in \mathbb{R} \}$

onde o gerador do subespaço núcleo é

$N(T)= [(1,\frac{1}{3} ,\frac{1}{3} )]$

para imagem

escrevendo como uma combinação linear

$(x-y-2z,-x+2y+z)=x(1,-1)+y(-1,2)+z(-2,1)$

o gerador do subespaço imagem é

$Im(T)=[(1,-1),(-1,2),(-2,1)]$

b)

a dimensão do nucleo

Dim N(T)=1 ,pois além de gerador (1,1/3,1/3) é base

a dimensão da imagem

Dim Im(T)=2 ,pois embora os 3 vetores sejam LI a dimensão do contradomínio é 2 e a dimensão da imagem no máximo pode ser igual a dimensão do contradomínio então [(1,-1),(-1,2)] ; [(-1,2),(-2,1)] ; [(1,-1),(-2,1)] são bases da imagem.

d)

o núcleo tem infinitos vetores x(1,1/3,1/3) para x real, então T não é injetora. T é sobrejetora, pois a dimensão do contradomínio é igual a dimensão da imagem Dim Im(T)=Dim (R²)

Answer 2

Resposta:

a)

para o núcleo

sistema:

multiplica a primeira equação por dois e somando:

x-3z=0

resolve em y

onde o gerador do subespaço núcleo é

para imagem

escrevendo como uma combinação linear

o gerador do subespaço imagem é

b)

a dimensão do nucleo

Dim N(T)=1 ,pois além de gerador (1,1/3,1/3) é base

a dimensão da imagem

Dim Im(T)=2 ,pois embora os 3 vetores sejam LI a dimensão do contradomínio é 2 e a dimensão da imagem no máximo pode ser igual a dimensão do contradomínio então [(1,-1),(-1,2)] ; [(-1,2),(-2,1)] ; [(1,-1),(-2,1)] são bases da imagem.

d)

o núcleo tem infinitos vetores x(1,1/3,1/3) para x real, então T não é injetora. T é sobrejetora, pois a dimensão do contradomínio é igual a dimensão da imagem Dim Im(T)=Dim (R²)