Question

Seja o número K= 2^x.3^y.5^x.7^y múltiplo de 15. Assim, é correto afirmar que

a) x é múltiplo de 5 e y é múltiplo de 3
b) x e y são números inteiros
c) x e y são números inteiros maiores ou iguais a zero
d) x e y são números inteiros maiores que zero.​

Answer 1

Resposta:

d)

Explicação passo-a-passo:

Sendo um múltiplo de 15, deve existir um número inteiro $x$ tal que $k=15\cdot x$. Vamos desenvolver essa equação:

$2^x\cdot3^y\cdot5^x\cdot7^y=15\cdot x$

$x=\frac{2^x\cdot3^y\cdot5^x\cdot7^y}{15}$

$x=\frac{2^x\cdot3^y\cdot5^x\cdot7^y}{3\cdot5}$

$x=2^x\cdot3^{y-1}\cdot5^{x-1}\cdot7^y$

Como 2, 3, 5 e 7 são primos, qualquer divisão entre eles ou números resultantes do produto entre eles não terá como resultado um número inteiro. Mas como $x$ deve ser inteiro, concluímos então que não deve haver divisão entre estes números, ou seja, todas as potências devem ser números inteiros não negativos.

Temos então que $x-1\geq 0\therefore x\geq 1$ e $y-1\geq0\therefore y\geq 1$.