Question

Seja o numero inteiro 6x3y, em que x e y substituem os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. O total de pares de valores ( x, y ) que tornam tal número divisível por 15 é

Answer 1

Seja N o nosso número. Dessa forma: $N=6x3y$.

Queremos que N seja divisível por 15. Só que ser divisível por 15 é o mesmo que ser divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

(i) Um número é divisível por 5 se seu último algarismo for 0 ou 5.
Dessa forma podemos analisar 2 casos para os possíveis valores de y: 0 ou 5.

(ii) Para um número ser divisível por 3 então a soma dos seus algarismos deve ser divisível por 3 também.
Dessa forma: $6+x+3+y=9+x+y$ deve ser múltiplo de 3.

Sabemos que temos duas opções para o y, logo teremos dois casos a analisar na nossa soma.

Caso $y=0$:
Aqui teremos $9+x+y=9+x$.
Queremos que $9+x$ seja divisível por 3. Isso nos dará as seguintes opções:
$x=0$ logo $9+x=9$ e $N=6030$
$x=3$ logo $9+x=12$ e $N=6330$
$x=6$ logo $9+x=15$ e $N=6630$
$x=9$ logo $9+x=18$ e $N=6930$
Isso nos dará 4 opções

Caso $y=5$
Aqui teremos $9+x+y=14+x$
Queremos que $14+x$ seja divisível por 3. Isso nos dará:
$x=1$ logo $14+x=15$ e $N=6135$
$x=4$ logo $14+x=18$ e $N=6435$
$x=7$ logo $14+x=21$ e $N=6735$
Totalizando 3 opções

Dessa forma conseguimos montar um total de $4+3=7$ números