Question

seja o numero complexo z= 4i/1+i A forma trigonometrica de z é​

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre número complexos.

Sejam os números complexos $z_1$ e $z_2=c+di$, com $a,~b,~c,~d\in\mathbb{R}$ e $b,~d\neq0$. A razão $\dfrac{z_1}{z_2}$ pode ser calculada multiplicando a fração por $\dfrac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}$, em que $\overline{z_2}=c-di$ é o conjugado de $z_2$.

Com isso, a razão se torna: $\dfrac{z_1\cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2}$, onde $|z_2|=\sqrt{c^2+d^2}$ é o módulo de $z_2$.

Então, seja o número complexo $z=\dfrac{4i}{1+i}$.

Multiplicando a fração por $\dfrac{1-i}{1-i}$, teremos:

$z=\dfrac{4i}{1+i}\cdot\dfrac{1-i}{1-i}\\\\\\ z=\dfrac{4i\cdot(1-i)}{(\sqrt{1^2+1^2})^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação no numerador e calcule as potências e some os valores no denominador

$z=\dfrac{4i+4}{2}\\\\\\ z=2+2i$

Por fim, a forma trigonométrica de um número complexo $z_3=a+bi$ é dada por: $z_3=|z_3|\cdot(\cos(\theta)+i\cdot\sin(\theta))$, onde $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$ é o argumento do número complexo.

Calculando o módulo de $z$, temos:

$|z|=\sqrt{2^2+2^2}\\\\\\ |z|=\sqrt{8}\\\\\\ |z|=2\sqrt{2}$

Calculando o argumento de $z$, temos:

$\theta=\arctan\left(\dfrac{2}{2}\right)\\\\\\ \theta =\arctan(1)\\\\\\ \theta =\dfrac{\pi}{4}$

Então, a forma trigonométrica de $z$ é:

$\boxed{z=2\sqrt{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}$