Question

Seja o número complexo W = 1-i/1+i . Então w^2015 vale

Answer 1

Vamos lá:
$W= \frac{1-i}{1+i} =\ \textgreater \ W= \frac{(1-i)*(1-i)}{(1+i)*(1-i)}$ (multiplica pelo conjugado na hora de racionalizar)
Continuando temos dois produtos notáveis:
$W= \frac{(1-i)^2}{1^2-i^2} =\ \textgreater \ W= \frac{1^2-2*1*i+i^2}{2} =\ \textgreater \ W= \frac{1-2i-1}{2} =\ \textgreater \ W= \frac{-2i}{2} = -i$

Sabemos que:
$i^0=1$
$i^1=i$
$i^2=-1$
$i^3=-i$

Então $W= i^3$
Sendo assim temos:
$(i^3)^2^0^1^5 = i^6^0^4^5$ (multiplique os expoentes)
$\frac{6045}{4}$ (pegue apenas os dois últimos e divida por 4, o resto é o "i^x" real)
$\frac{45}{4}$=11 
$11*4=44$ Sobrou 1

Então $W^2^0^1^5 = i^1 = i$

Também poderá ser feito assim
$(-i)^2^0^1^5$ (pegue e faça $\frac{15}{4} = 3$, sobrou 3.
Assim temos:
$(-i)^3$=$(i^3)^3$ => $i^9$
$i^9 = i^1 = i$ , pois $\frac{9}{4}=2$ e sobra o "1", que será o expoente.

Answer 2

✅ Após ter resolvido todos os cálculos, concluímos que o valor potência do número complexo procurado é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf w^{2015} = i\:\:\:}}\end{gathered} }$

Resolvendo o quociente entre os números complexos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}w = \frac{1 - i}{1 + i} \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{1 - i}{1 + i} \cdot\frac{1 - i}{1 - i} \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{1 - 2i + i^{2}}{1 - i^{2}} \end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{1 - 2i + (-1)}{1 - (-1)} \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{1 - 2i - 1}{1 + 1} \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= -\frac{2i}{2} \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = - i\end{gathered}$

Portanto o valor de "w" é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}w = -i \end{gathered}$

Então:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}w^{2015} = - i^{2015} = - i^{3} = - (-i) = i\end{gathered}$

✅ Portanto:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}w^{2015} = i \end{gathered}$

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