Question

Seja o hexágono regular inscrito na circunferência abaixo. Determine o valor de x, y e z indicados na figura.

A) x = 30º; y = 60º; z = 60º
B) x = 30º; y = 30º; z = 60º
C) x = 60º; y = 30º; z = 60º
D) x = 30º; y = 30º; z = 30º
E) x = 60º; y = 60º; z = 60º

Answer 1

VEJA AS IMAGENS QUE POSTEI PARA ENTENDER MELHOR

(AS IMAGENS QUE POSTEI SÃO MINHAS)

Esse é um hexágono regular, significa que possui lados iguais e ângulos iguais.

Se de um único vértice formarmos semirretas ao encontro de cada vértice, perceberemos que essa figura terá 4 triângulos dentro dela. (VER A ÚLTIMA IMAGEM)

Todo triângulo tem 180°, logo, se ela tem 4 triângulos dentro dela possui a soma dos ângulos internos igual a  720° (180°×4=720°)

Para saber o valor de cada ângulo interno basta dividir o valor total pelo número de ângulos:

$\frac{720}{6} = 120$

Pronto! sabemos que cada ângulo interno tem 120°. Mas talvez você já soubesse disso : ) (VER 1° IMAGEM)

RESOLUÇÃO:

Vamos a algumas considerações: (VER IMAGEM 1, 2 e 3)

• A soma de X, Y e Z tem que ser 120°, porque esse é o valor de um ângulo interno do hexágono regular;
• As semirretas FA e FE, que se encontram no vértice F, formam, entre elas, um ângulo de 120°, porque esse é o valor de um ângulo interno de um hexágono regular.
• O ângulo X é igual ao ângulo FÂE, porque o triângulo AFE é isósceles, ou seja, possui pelo menos dois ângulos ou lados iguais.
• A soma do ângulo Y com o ângulo Z é 90°
• A semirreta EO forma um lado de um triângulo equilátero, e todos os ângulos de um triângulo equilátero são iguais, ou seja, 180°÷3=60°

Com essas considerações, agora sabemos que: (VER IMAGEM 4)

• Z= 60°. Isso porque, é um ângulo do triângulo equilátero EOD.

• Como a soma de Y e Z é igual a 90° e sabemos que Z=60°, então, y=30°:

90° - 60° = 30°

• COMO a soma de X, Y e Z tem que ser o valor de um ângulo interno de um hexágono regular, ou seja, 120°, então  X=30º

X + Y + Z = 120°

X + 30° + 60° = 120°

X + 90° = 120°

X = 120° - 90°

X = 30°

 

OBS.:

Você também pode encontrar o valor de X ao observar que o ângulo no vértice F é igual a 120° - porque é o valor de um ângulo interno de um hexágono regular - e que todo triangulo possui a soma dos ângulos internos igual 180°. Sendo assim a soma dos outros ângulos só pode ser 60°:

180° - 120° = 60°

Mas também sabemos que o triângulo AFE é isósceles, logo, os dois ângulos que não conhecemos (os ângulos FÊA e FÂE) são iguais e a soma deles é 60°:

$\frac{60}{2} = 30$

Ou seja, X=30° e  FÂE=30°

RESPOSTA:

b) X=30°;  Y=30°;  Z=60°