Question

Seja o determinante
$\left[\begin{array}{ccc}1&x&4\\0&1&1\\x&0&-5\end{array}\right]$
com x ∈ lR. Para que o determinante seja sempre positivo, então,
a) x > –2 e x < 5
b) x ≤ –1 ou x > 3
c) x > –1 e x < 5
d) x < –1 ou x > 5
e) x > –1 e x ≤ 3

Answer 1

Resposta:

reposta:   letra D

Explicação passo a passo:

Seja M

             $M = \left[\begin{array}{ccc}1&x&4\\0&1&1\\x&0&-5\end{array}\right]$

Para que o determinante seja sempre positivo o determinante deve ser maior que 0, ou seja:

                                                                $Det(M) > 0$

$1.1.(-5) + x.1.x + 4.0.0 - x.0.(-5) - 1.1.0 - 4.1.x >0$

                                      $-5 + x^{2} + 0 - 0 - 0 - 4x > 0$

                                                            $x^{2} - 4x - 5 > 0$

Chegamos a seguinte inequação:

                  $x^{2} - 4x - 5 > 0$

Para resolve-la devemos primeiramente resolver a seguinte equação:

                  $x^{2} - 4x - 5 = 0$

Cuja equação foi gerada a partir da seguinte função:

                 $f(x) = x^{2} - 4x - 5$

Calculando o valor de delta temos:

Δ $= b^{2} - 4.a.c = (-4)^{2} - 4.1.(-5) = 16 + 20 = 36$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

$x = \frac{-b +- \sqrt{delta} }{2.a} = \frac{-(-4) +- \sqrt{36} }{2.1} = \frac{4 +- 6}{2}$

$x' = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x'' = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Chegamos ao conjunto solução da equação que é:

                    S = {-1, 5}

Agora pra resolver a inequação devemos responder a seguinte pergunta: "Para quais valores de x temos y > 0?".

Para responder esta pergunta devemos analisar o coeficiente de a e as raízes da equação. Então:

Como a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima, o que significa dizer que o vértice da parábola é o ponto de mínimo. Neste caso, os valores de x que terão imagem positiva pode ser:

                   x < -1    ou      x > 5

Ou seja, a solução da inequação é:

             S = {x ∈ R | x < -1 ou x > 5}

Saiba mais sobre inequações do segundo grau, acessando:

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Veja também a solução gráfica da referida questão: