Matemática, perguntado por lucas99158, 7 meses atrás

Seja o conjunto A = {3, 5, 7, {7}, 9), marque somente a FALSA abaixo:
(A) 7 e{7} são diferentes
(B) 5 CA
(C) { } está contido em A
(D) {{7}} pertence a A
(E) {5,7} é subconjunto de A

Soluções para a tarefa

Respondido por Couldnt

O exercício pede noções sobre conjuntos, sabendo a distinção entre diferentes tipos de elementos e subconjuntos

Conjuntos

Um conjunto é definido como um agrupamento de elementos, de modo que um conjunto A pode ser denotado a partir de seus elementos por exemplo,

$A = \{1,2,3,4,5\}$

tem como elementos os naturais de 1 à 5. Denotamos, quando algo é elemento de A, com o operador 'pertence' (∈)

$2 \in A$

lê-se "2 pertence à A".

No entanto, um conjunto pode não conter apenas números, mas outros conjuntos como elementos, por exemplo, o conjunto

$B = \{\{1,2,3\},\{4,5\}\}$

não tem números como elementos, mas dois conjuntos, deste modo, é correto afirmar que

$\{5,4\} \in B$

No entanto,

$5 \notin B$

pois 5 não é elemento de B.

Reconhecendo tal diferença podemos partir para o próximo tópico

Subconjuntos

Chamamos de subconjunto, um conjunto que possui alguns, mas não todos, elementos de outro. Podemos pensar num subconjunto como um conjunto criado a partir de outro, mas escolhendo seus elementos. Por exemplo, o conjunto {1, 2, 3} é subconjunto de A

$A = \{1,2,3,4,5\}$

E denotamos com o operador 'contido' (⊂)

$\{1,2,3\} \subset B$

lê-se "{1, 2, 3} está contido em B".

Uma propriedade direta dos subconjuntos é que, se x é elemento do subconjunto, então x é elemento do conjunto que o origina.

$A\subset B \hspace{0.3cm} e \hspace{0.3cm} x \in A \implies x \in B$

Como um subconjunto é uma escolha de elementos de outro conjunto, podemos escolher não escolher elemento algum, deste modo, criamos um subconjunto que não possui conjunto algum. Deste modo, o conjunto nulo é subconjunto e tal resultado é verdadeiro para qualquer conjunto A.

$\{\} \subset A, \hspace{0.3cm} \forall A$

Exercício

Com todas as ferramentas que revisamos acima temos conhecimento o suficiente para resolver o exercício. Seja A o conjunto definido por

$A =\{3, 5,7,\{7\}, 9\}$

Contando os elementos, verificamos que A possui 5 elementos, dentre eles, 4 são numéricos e 1 é um conjunto. É importante verificar que os elementos 7 e {7} são, de fato, distintos, uma vez que um significa literalmente o número 7, enquanto o outro define um conjunto cujo único elemento é o número 7. Deste modo, é correto denotar que

$7 \neq \{7\}, \hspace{0.2cm} mas \hspace{0.15cm} 7 \in A,\, \{7\} \in A$

o que também contradiz outra alternativa, que diz que

$\{\{7\}\} \in A$

Assim, as alternativas a) e d) não são nossa resposta.

Quanto aos subconjuntos de A, retiramos a alternativa trivial, que afirma que o conjunto nulo está contido em A. O conjunto nulo está contido em qualquer conjunto e, portanto, também está contido em A. Outro subconjunto de A possível é o conjunto definido pela escolha dos elementos 5 e 7 de A, deste modo,

$\{5,7\} \subset A$