Question

Seja o campo vetorial → F ( x , y , z ) = 2 y z ^ x + ( x 2 z − y ) ^ y + x 2 ^ z . Determine o valor do produto entre o divergente do campo vetorial → F pelo seu rotacional para o ponto (1,0,2) (Ref.: 202012581954) ⟨ 1 , − 2 , 1 ⟩ ⟨ 2 , − 2 , 1 ⟩ ⟨ − 3 , 2 , 1 ⟩ ⟨ − 1 , 2 , 4 ⟩ ⟨ 1 , 2 , 0 ⟩

Answer 1

Resposta:

O valor do produto entre o divergente e o rotacional do campo vetorial F no ponto (1,0,2) é <1,2,0>.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar os conceitos de divergente e rotacional de um campo vetorial $F(x,y,z) = P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$.

• Divergente

É dado pelo produto escalar entre o operador del e o campo vetorial F.

(Operador del são as derivadas parciais em relação a x, y e z)

$\text{Div} \ F=\triangledown \bullet F$

• Rotacional

É dado pelo produto vetorial entre o operador del e o campo vetorial F.

$\text{Rot} \ F=\triangledown \times F$

Assim dado o campo vetorial $F(x,y,z)=2yz\vec{i}+(x^2z-y)\vec{j}+x^2\vec{k}$ podemos determinar:

Divergente

$\text{Div} \ F=\triangledown \bullet F\\\\\text{Div} \ F=\dfrac{\partial}{\partial x}(2yz)+\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2z-y)+\dfrac{\partial}{\partial z}(x^2)\\\\\text{Div} \ F=0-1+0\\\\\text{Div} \ F=-1$

Rotacional

$\text{Rot} \ F=\triangledown \times F\\\\\text{Rot} \ F=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\2yz& x^2z-y&x^2\end{vmatrix}\\\\\text{Rot} \ F=\left(\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2) \vec{i}+\dfrac{\partial}{\partial z}(2yz) \vec{j}+\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2z-y)\vec{k}\right)$

$-\left(\dfrac{\partial}{\partial y}(2yz) \vec{k}+\dfrac{\partial}{\partial z}(x^2z-y) \vec{i}+\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)\vec{j}\right)$

$\text{Rot} \ F=-x^2\vec {i}+(2y-2x)\vec{j}+(2xz-2z)\vec{k}$

Multiplicando divergente pelo rotacional temos:

$<x^2, 2x-2y, 2z-2xz>$

Por fim substituímos as coordenadas do ponto (1,02)

$<1^2,2\cdot 1-2\cdot 0, 2\cdot 2-2\cdot 1\cdot 2>=\\<1,2,0>$