Question

Seja o π: 2X+4Y-Z-4=0 determinar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados e, bem como, a reta interseção deste plano com o plano xOy. Assinale a opção que representa respectivamente os elementos procurados.

Answer 1

Teremos que formar a equação de 3 retas, uma que tome o lugar do eixo x, outra do eixo y, e outra do eixo z, para depois encontrarmos alguns dos infinitos pontos de interseção do plano com esses eixos. Ou talvez o plano só intercepte alguns dos eixos e em alguns pontos determinados.

1 -

Dois pontos que representam o eixo 0x: A = (1,0,0) e B = (3,0,0).

v = AB
v = B - A
v = (2,0,0)

r: x = (1,0,0) + λ(2,0,0)

|x = 1 + 2λ
|y = 0
|z = 0

Dois pontos que representam o eixo 0y: A = (0,2,0) e B = (0,5,0)

v = AB
v = B - A
v = (0,3,0)

s: x = (0,2,0) + λ(0,3,0)

|x = 0
|y = 2 + 3λ
|z = 0

Dois pontos que representam o eixo 0z: A = (0,0,1) e B = (0,0,4)

v = AB
v = B - A
v = (0,0,3)

t: x = (0,0,1) + λ(0,0,3)

|x = 0
|y = 0
|z = 1 + 3λ

2 -

Interseção com o eixo 0x:

|x = 1 + 2λ
|y = 0
|z = 0

2x + 4y - z -  4 = 0

2(1 + 2λ) + 4·0 - 0 - 4 = 0

2 + 4λ - 4 = 0

4λ = 2

λ = 1/2

|x = 1 + 2 · 1/2
|y = 0
|z = 0

Interseção em P = (2,0,0)

3 - 

Interseção com o eixo 0y:

|x = 0
|y = 2 + 3λ
|z = 0

2x + 4y - z - 4 = 0

2·0 + 4(2 + 3λ) - 0 - 4 = 0

8 + 12λ - 4 = 0

12λ = - 4

λ = -1/3

|x = 0
|y = 2 + 3·(-1/3)
|z = 0

Interseção em P = (0,1,0)

4 - 

Interseção com o eixo 0z:

|x = 0
|y = 0
|z = 1 + 3λ

2x + 4y - z - 4 = 0

2·0 + 4·0 - (1 + 3λ) - 4 = 0

- 1 - 3λ - 4 = 0

- 3λ = 5

λ = -5/3

|x = 0
|y = 0
|z = 1 + 3·(-5/3)

Interseção em P = (0,0,-4)

5 - 

O plano x0y tem equação geral na forma z = 0, agora considere o sistema:

$\displaystyle r: \left[\begin{array}{ccc} \pi_{1}: \, 2x+4y-z=4\\\\ \pi_{2}: \, z=0\end{array}\right$

Se z = 0 e fazendo x = λ, obtemos:

$\displaystyle 2x+4y-z=4 \\ \\ 2 \lambda +4y-0=4 \\ \\ 4y=4-2\lambda \\ \\ y=1- \frac{1}{2} \lambda$

Temos agora uma equação paramétrica e vetorial respectivamente de uma das retas interseção dos planos:

|x = λ
|y = 1 - 1/2λ
|z = 0

u: x = (0,1,0) + λ(1,-1/2,0)

Espero que tenha lhe ajudado!